{Wie lautet die $D$–Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$?
{Wie lautet die $D$–Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$?
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- Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D]$.
- Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D]$.
+ Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D^2]$.
+ Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D^2]$.
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===Musterlösung===
===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''(1)''' Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Ausgangsfolge $\underline{p}$ für die Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Ausgehend vom Zustand $S_0$ ergeben sich im Zustandsübergangsdiagramm folgende Übergänge:
'''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
*Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Ausgangsfolge $\underline{p}$ für die Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
*Ausgehend vom Zustand $S_0$ ergeben sich im Zustandsübergangsdiagramm folgende Übergänge:
Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Für ein nichtrekursives Filter mit Gedächtnis $m$ gilt $g_i ≡ 0$ für $i > m$. In unserem Beispiel ist $m = 2$. Der Lösungsvorschlag 1 gilt dagegen für das rekursive Filter (RSC) entsprechend der [[Aufgaben:4.09_Wiederholung_zu_den_RSC-Codes| Aufgabe A4.9]].
Richtig sind demnach die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3: Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i ≡ 0$ für $i > 9$.
Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3: Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i ≡ 0$ für $i > 9$.
'''(3)''' Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man die Codeparameter $k = 1$ und $n = 2$. Das heißt: Die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ besteht aus zwei Elementen ⇒ der Vorschlag 3 ist falsch.
'''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
*Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man die Codeparameter $k = 1$ und $n = 2$.
*Das heißt: Die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ besteht aus zwei Elementen ⇒ der Vorschlag 3 ist falsch.
* Die erste Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist tatsächlich 1, da ein systematischer Code vorliegt: $\ \underline{x}^{(1)} ≡ \underline{z}$.
* Die erste Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist tatsächlich 1, da ein systematischer Code vorliegt: $\ \underline{x}^{(1)} ≡ \underline{z}$.
* Die zweite Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist gleich der $D$–Transformierten der Impulsantwort $\underline{g}$, wobei die Dummy–Variable $D$ eine Verzögerung um ein Bit angibt:
* Die zweite Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist gleich der $D$–Transformierten der Impulsantwort $\underline{g}$, wobei die Dummy–Variable $D$ eine Verzögerung um ein Bit angibt:
Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
Über die Fragestellung hinausgehend betrachten wir hier auch noch die vorliegende Filterstruktur:
Über die Fragestellung hinausgehend betrachten wir hier auch noch die vorliegende Filterstruktur:
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[[File:P_ID3038__KC_A_4_8c_v1.png|center|frame|Drei Beispiele für Rate–1/2–Faltungscodierer]]
[[File:P_ID3038__KC_A_4_8c_v1.png|center|frame|Drei Beispiele für Rate–1/2–Faltungscodierer]]
In der Grafik ist der hier betrachtete Coder als <b>Coder A</b> links dargestellt. Der Coder A
In der Grafik ist der hier betrachtete Coder als Coder $\rm A$ links dargestellt. Dieser
* ist ebenso wie der Coder B systematisch,
* ist ebenso wie der Coder $\rm B$ systematisch,
* basiert im Gegensatz zu Coder B aber auf einem nichtrekursiven Filter.
* basiert im Gegensatz zu Coder $\rm B$ aber auf einem nichtrekursiven Filter.
*Der Coder $\rm C$ hat ebenfalls eine nichtrekursive Struktur, ist aber nicht systematisch.
*Die äquivalente systematische Repräsentation von Coder $\rm C$ ist der Coder $\rm B$.
Der Coder C hat ebenfalls eine nichtrekursive Struktur, ist aber nicht systematisch. Die äquivalente systematische Repräsentation von Coder C ist der Coder B.
'''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
'''(4)''' Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2). Wir wählen hier aber zur Abwechslung den Weg über die $D$–Transformation:
*Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2). Wir wählen hier aber zur Abwechslung den Weg über die $D$–Transformation:
Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.
'''(5)''' Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden. Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ ... \ $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} ≠ \underline{0}$.
'''(5)''' Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden.
*Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ \text{ ...} \ $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} ≠ \underline{0}$.
Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die frei Distanz zum Beispiel durch den Pfad
*Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad
Ausgehend von dem nebenstehenden Zustandsübergangsdiagramm sollen wesentliche Eigenschaften und Kenngrößen des betrachteten Rate–1/2–Faltungscodes ermittelt werden, wobei wir ausdrücklich auf folgende Theorieseiten verweisen:
Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet „$u_i | x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei:
Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\ x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$
Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\ x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.
Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Ausgangsfolge $\underline{p}$ für die Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
Ausgehend vom Zustand $S_0$ ergeben sich im Zustandsübergangsdiagramm folgende Übergänge:
Für ein nichtrekursives Filter mit Gedächtnis $m$ gilt $g_i ≡ 0$ für $i > m$. In unserem Beispiel ist $m = 2$.
Der Lösungsvorschlag 1 gilt dagegen für das rekursive Filter (RSC) entsprechend der Aufgabe 4.9.
(2) Es sei $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ und $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Dann gilt für die Paritysequenz aufgrund der Linearität:
Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2 im Gegensatz zur Antwort 3: Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i ≡ 0$ für $i > 9$.
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man die Codeparameter $k = 1$ und $n = 2$.
Das heißt: Die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ besteht aus zwei Elementen ⇒ der Vorschlag 3 ist falsch.
Die erste Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist tatsächlich 1, da ein systematischer Code vorliegt: $\ \underline{x}^{(1)} ≡ \underline{z}$.
Die zweite Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist gleich der $D$–Transformierten der Impulsantwort $\underline{g}$, wobei die Dummy–Variable $D$ eine Verzögerung um ein Bit angibt:
(5) Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden.
Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ \text{ ...} \ $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} ≠ \underline{0}$.
Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad
