Applets:Binomial and Poisson Distribution (Applet)

Applet Description

This applet allows the calculation and graphic display of

• the probabilities ${\rm Pr}(z=\mu)$ of a discrete random variable $z \in \{\mu \} = \{0, 1, 2, 3, \text{...} \}$, that determine its Probability Density Function (PDF) (graphic representation with Dirac functions ${\rm \delta}( z-\mu)$):

$$f_{z}(z)=\sum_{\mu=1}^{M}{\rm Pr}(z=\mu)\cdot {\rm \delta}( z-\mu),$$

• the probabilities ${\rm Pr}(z \le \mu)$ of the Cumulative Distribution Function (CDF) $F_{z}(\mu)={\rm Pr}(z\le\mu)$.

Discrete distributions are available in two sets of parameters:

• the Binomial distribution with the parameters $I$ and $p$   ⇒   $z \in \{0, 1, \text{...} \ , I \}$   ⇒   $M = I+1$ possible values,
• the Poisson distribution with the parameter $\lambda$   ⇒   $z \in \{0, 1, 2, 3, \text{...}\}$   ⇒   $M \to \infty$.

At the exercises below you are to compare:

• two Binomial distributions with different sets of parameters $I$ and $p$,
• two Poisson distributions with different rates $\lambda$,
• a Binomial distribution with a Poisson distribution.

Theoretical Background

Properties of Binomial Distribution

The Binomial distribution represents an important special case for the likelihood of occurence of a discrete random variable. For the derivation we assume, that $I$ binary and statistically independent random variables $b_i \in \{0, 1 \}$ can take

• the value $1$ with the probability ${\rm Pr}(b_i = 1) = p$, and
• the value $0$ with the probability ${\rm Pr}(b_i = 0) = 1-p$.

Then the sum $z$, which is also a discrete random variable with the symbol stock $\{0, 1, 2, \text{...}\ , I\}$, is called binomially distributed:

$$z=\sum_{i=1}^{I}b_i.$$

The symbol scope is thus $M = I + 1.$

Probabilities of binomial distribution

Following formular applies for $μ = 0, \text{...}\ , I$:

$$p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu},$$

whereby the first term provides the number of combinations $(I \text{ over }\mu)$ :

$${I \choose \mu}=\frac{I !}{\mu !\cdot (I-\mu) !}=\frac{ {I\cdot (I- 1) \cdot \ \cdots \ \cdot (I-\mu+ 1)} }{ 1\cdot 2\cdot \ \cdots \ \cdot \mu}.$$

Moments of Binomial Distribution

Following formular applies to a binomially distributed random variable of order $k$:

$$m_k={\rm E}[z^k]=\sum_{\mu={\rm 0}}^{I}\mu^k\cdot{I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$

From it we can derive the formulars for:

• the linear average:   $m_1 = I\cdot p,$
• the quadratic average:   $m_2 = (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p,$
• the variance and dispersion:   $\sigma^2 = {m_2-m_1^2} = {I \cdot p\cdot (1-p)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma = \sqrt{I \cdot p\cdot (1-p)}.$

Applications of Binomial Distribution

The Binomial distribution has a variety of uses in telecommunications as well as other disciplines :

• It characterizes the distribution of rejected parts (Ausschussstücken) in the statistical quality control.
• The bit error rate of a digital transmission system gained through simulation is technically a binomially distributed random variable as well.
• The binomial distribution can be used to calculate the residual error probability with blockwise coding, as the following example shows.

$\text{Example 1:}$  When transfering blocks of $I =5$ binary symbols through a channel, that

• distorts a symbol with probability $p = 0.1$   ⇒   Random variable $e_i = 1$, and
• transfers the symbol undistorted with probability $1 - p = 0.9$   ⇒   Random variable $e_i = 0$,

the new random variable $f$ („Error per block”) calculates to:

$$f=\sum_{i=1}^{I}e_i.$$

$f$ can now assume integer values between $\mu = 0$ (no symbol is distorted) and $\mu = I$ (all five symbols are distorted). We describe the probability of $\mu$ distortions as $p_μ = {\rm Pr}(f = \mu)$.

• The case that all five symbols are transmitted correctly occurs with the probability of $p_0 = 0.9^{5} ≈ 0.5905$. This also be concluded from the binomial formula for $μ = 0$ , taking into account the definition „10 over 0“ = 1.
• A singular error $(f = 1)$ occurs with the probability $p_1 = 5\cdot 0.1\cdot 0.9^4\approx 0.3281$. The first factor indicates, that there are $5\text{ über } 1 = 5$ possibilities to position the error. The other two factors take into account, that one symbol was distorted and the other four are intact, when $f =1$.
• For $f =2$ there are $5\text{ über } 2 = (5 \cdot 4)/(1 \cdot 2) = 10$ combinations and you get a probability of $p_2 = 10\cdot 0.1^2\cdot 0.9^3\approx 0.0729$.

If a block code can correct up to two errors, then the rest error probability is $p_{\rm R} = 1-p_{\rm 0}-p_{\rm 1}-p_{\rm 2}\approx 0.85\%$. A second calculation option would be $p_{\rm R} = p_{3} + p_{4} + p_{5}$ with the approximation $p_{\rm R} \approx p_{3} = 0.81\%.$

The mean number of errors in a block is $m_f = 5 \cdot 0.1 = 0.5$. The variance of the random variable $f$ is $\sigma_f^2 = 5 \cdot 0.1 \cdot 0.9= 0.45$   ⇒   $\sigma_f \approx 0.671.$

Properties of Poisson Distribution

The Poisson distribution is a special case of the Binomial distribution, where

• for one $I → ∞$ and $p →$ 0.
• Additionally, the product of $I · p = λ$ must be finite.

The parameter $λ$ indicates the average number of "ones" in a specified time unit and is called rate.

Unlike with the Binomial distribution ($0 ≤ μ ≤ I$), here, the random variable can assume arbitrarily large non-negative integers, which means that the number of possible valuess is not countable. However, since no intermediate values ​​can occur, this too referred to as a "discrete distribution".

Probabilities of Poisson Distribution

Taking into account the abovementioned limit transitions in the equation for the probabilities of the binomial distribution, the likelihood of occurence of the Poisson distributed random variable $z$ can be calculated through:

$$p_\mu = {\rm Pr} ( z=\mu ) = \lim_{I\to\infty} \cdot \frac{I !}{\mu ! \cdot (I-\mu )!} \cdot (\frac{\lambda}{I} )^\mu \cdot ( 1-\frac{\lambda}{I})^{I-\mu}.$$

After some algebraic transformations we obtain:

$$p_\mu = \frac{ \lambda^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-\lambda}.$$

Moments of Poisson Distribution

With the Poisson distribution, the average and the dispersion result directly from the corresponding equations of the binomial distribution through a twofold limit formation:

$$m_1 =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty \atop {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} I \cdot p= \lambda,$$

$$\sigma =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty \atop {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt {\lambda}.$$

We can see that with the Poisson distribution $\sigma^2 = m_1 = \lambda$ always holds. By contrast, $\sigma^2 < m_1$ always applies to the binomial distribution .

rechts

$\text{Example 2:}$  We now compare

• the Binomial distribution with parameters $I =6$ und $p = 0.4$ with
• the Poisson distribution with $λ = 2.4$:
• Both distributions have the same linear average $m_1 = 2.4$.
• The dispersion of the Poisson distribution (marked red in the picture) is $σ ≈ 1.55$.
• The standard deviation of the Binomial distribution (marked blue) is $σ = 1.2$.

Anwendungen der Poissonverteilung

Die Poissonverteilung ist das Ergebnis eines so genannten Poissonprozesses. Ein solcher dient häufig als Modell für Folgen von Ereignissen, die zu zufälligen Zeitpunkten eintreten können. Beispiele für derartige Ereignisse sind

• der Ausfall von Geräten – eine wichtige Aufgabenstellung in der Zuverlässigkeitstheorie,
• das Schrotrauschen bei der optischen Übertragung, und
• der Beginn von Telefongesprächen in einer Vermittlungsstelle („Verkehrstheorie”).

$\text{Beispiel 3:}$  Gehen bei einer Vermittlungsstelle im Langzeitmittel neunzig Vermittlungswünsche pro Minute (entsprechend $λ = 1.5 \text{ pro Sekunde}$) ein, so lauten die Wahrscheinlichkeiten $p_µ$, dass in einem beliebigen Zeitraum von einer Sekunde genau $\mu$ Belegungen auftreten:

$$p_\mu = \frac{1.5^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-1.5}.$$

Es ergeben sich die Zahlenwerte $p_0 = 0.223$, $p_1 = 0.335$, $p_2 = 0.251$, usw.

Daraus lassen sich weitere Kenngrößen ableiten:

• Die Abstand $τ$ zwischen zwei Vermittlungswünschen genügt der Exponentialverteilung.
• Die mittlere Zeitspanne zwischen Vermittlungswünschen beträgt ${\rm E}[τ] = 1/λ ≈ 0.667 \ \rm s$.

Gegenüberstellung Binomialverteilung vs. Poissonverteilung

Hier sollen die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede zwischen binomial- und poissonverteilten Zufallsgrößen herausgearbeitet werden.

Binomialverteilung vs. Poissonverteilung

Die Binomialverteilung ist zur Beschreibung solcher stochastischer Ereignisse geeignet, die durch einen festen Takt $T$ gekennzeichnet sind. Beispielsweise beträgt bei ISDN (Integrated Services Digital Network) mit $64 \ \rm kbit/s$ die Taktzeit $T \approx 15.6 \ \rm µ s$.

• Nur in diesem Zeitraster treten binäre Ereignisse auf. Solche Ereignisse sind beispielsweise die fehlerfreie $(e_i = 0)$ oder fehlerhafte $(e_i = 1)$ Übertragung einzelner Symbole.
• Die Binomialverteilung ermöglicht nun statistische Aussagen über die Anzahl der in einem längeren Zeitintervall $T_{\rm I} = I · T$ zu erwartenden Übertragungsfehler entsprechend des oberen Zeitdiagramms (blau markierte Zeitpunkte).
• Für sehr große Werte von $I$ kann die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung angenähert werden.
• Ist gleichzeitig das Produkt $I · p \gg 1$, so geht nach dem Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace die Poissonverteilung (und damit auch die Binomialverteilung) in eine diskrete Gaußverteilung über.

Die Poissonverteilung macht ebenfallsAussagen über die Anzahl eintretender Binärereignisse in einem endlichen Zeitintervall.

Geht man hierbei vom gleichen Betrachtungszeitraum $T_{\rm I}$ aus und vergrößert die Anzahl $I$ der Teilintervalle immer mehr, so wird die Taktzeit $T$, zu der jeweils ein neues Binärereignis ($0$ oder $1$) eintreten kann, immer kleiner. Im Grenzfall geht $T$ gegen Null. Das heißt:

• Bei der Poissonverteilung sind die binären Ereignisse nicht nur zu diskreten, durch ein Zeitraster vorgegebenen Zeitpunkten möglich, sondern jederzeit. Das untere Zeitdiagramm verdeutlicht diesen Sachverhalt.
• Um im Mittel während der Zeit $T_{\rm I}$ genau so viele „Einsen” wie bei der Binomialverteilung zu erhalten (im Beispiel: sechs), muss allerdings die auf das infinitesimal kleine Zeitintervall $T$ bezogene charakteristische Wahrscheinlichkeit $p = {\rm Pr}( e_i = 1)$ gegen Null tendieren.

Versuchsdurchführung

In der folgenden Beschreibung bedeutet

• Blau: Verteilungsfunktion 1 (im Applet blau markiert)

• Rot: Verteilungsfunktion 2 (im Applet rot markiert)

(1)  Setzen Sie Blau: Binomialverteilung $(I=5, \ p=0.4)$ und Rot: Binomialverteilung $(I=10, \ p=0.2)$.

Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=0)$ und ${\rm Pr}(z=1)$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(z=0)=0.6^5=7.78\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.4 \cdot 0.6^4=25.92\%;$

$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(z=0)=0.8^10=10.74\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.2 \cdot 0.8^9=26.84\%.$

(2)  Es gelten weiter die Einstellungen von (1). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(3 \le z \le 5)$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z=3) + {\rm Pr}(z=4) + {\rm Pr}(z=5)\text{, oder } {\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z \le 5) - {\rm Pr}(z \le 2)$

$\hspace{1.85cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2304+ 0.0768 + 0.0102 =1 - 0.6826 = 0.3174;$

$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2013 + 0.0881 + 0.0264 = 0.9936 - 0.6778 = 0.3158$

(3)  Es gelten weiter die Einstellungen von (1). Wie unterscheiden sich der Mittelwert $m_1$ und die Streuung $\sigma$ der beiden Binomialverteilungen?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1} = I \cdot p\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} m_\text{1, Blau} = 5 \cdot 0.4\underline{ = 2 =} \ m_\text{1, Rot} = 10 \cdot 0.2; $

$\hspace{1.85cm}\text{Streuung:}\hspace{0.4cm}\sigma = \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{m_1 \cdot (1-p)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_{\rm Blau} = \sqrt{2 \cdot 0.6} =1.095 \le \sigma_{\rm Rot} = \sqrt{2 \cdot 0.8} = 1.265.$

(4)  Setzen Sie Blau: Binomialverteilung $(I=15, p=0.3)$ und Rot: Poissonverteilung $(\lambda=4.5)$.

Welche Unterschiede ergeben sich zwischen beiden Verteilungen hinsichtlich Mittelwert $m_1$ und Varianz $\sigma^2$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Beide Verteilungern haben gleichen Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1, Blau} = I \cdot p\ = 15 \cdot 0.3\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.5 =} \ m_\text{1, Rot} = \lambda$;

$\hspace{1.85cm} \text{Binomialverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Blau}^2 = m_\text{1, Blau} \cdot (1-p)\hspace{0.15cm}\underline { = 3.15} \le \text{Poissonverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Rot}^2 = \lambda\hspace{0.15cm}\underline { = 4.5}$;

(5)  Es gelten die Einstellungen von (4). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \gt 10)$ und ${\rm Pr}(z \gt 15)$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomial: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - {\rm Pr}(z \le 10) = 1 - 0.9993 = 0.0007;\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(z \gt 15) = 0$.

$\hspace{1.85cm}\text{Poisson: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - 0.9933 = 0.0067;\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \gt 0\hspace{0.5cm}\text{Näherung: }\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \ge {\rm Pr}(z = 16) = \frac{\lambda^{16} }{16!}\approx 2 \cdot 10^{-22}$

(6)  Es gelten weiter die Einstellungen von (4). Mit welchen Parametern ergeben sich symmetrische Verteilungen um $m_1$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomialverung mit }p = 0.5\text{: }p_\mu = {\rm Pr}(z = \mu)\text{ symmetrisch um } m_1 = I/2 = 7.5 \ ⇒ \ p_μ = p_{I–μ}\ ⇒ \ p_8 = p_7, \ p_9 = p_6, \text{usw.}$

$\hspace{1.85cm}\text{Die Poissonverteilung wird dagegen nie symmetrisch, da sie sich bis ins Unendliche erstreckt!}$

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2003 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2018 wurde dieses Programm von Jimmy He im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: Tasnád Kernetzky – Mitarbeiter der Professur „Leitungsgebundene Übertragungstechnik„) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

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