Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.1: Causality Considerations"

From LNTwww
Line 52: Line 52:
 
{Berechnen Sie die Übertragungsfunktion $H_2(f)$. Welcher komplexe Wert ergibt sich für $f = f_{\rm G}$?
 
{Berechnen Sie die Übertragungsfunktion $H_2(f)$. Welcher komplexe Wert ergibt sich für $f = f_{\rm G}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Re}{H_2(f = f_{\rm G})} \ = \ $  { 0. }
+
${\rm Re}[H_2(f = f_{\rm G})] \ = \ $  { 0. }
${\rm Im}{H_2(f = f_{\rm G})} \ = \ $ { 0.5 3% }
+
${\rm Im}[H_2(f = f_{\rm G})] \ = \ $ { 0.5 3% }
  
  
Line 68: Line 68:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''  Mit der angegebenen Übertragungsfunktion kann man nach dem Spannungsteilerprinzip
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
$$H_1(f = 0) = 0, \hspace{0.2cm}H_1(f \rightarrow \infty) = 1$$
+
*Mit der angegebenen Übertragungsfunktion kann man nach dem Spannungsteilerprinzip berechnen:
 +
:$$H_1(f = 0) = 0, \hspace{0.2cm}H_1(f \rightarrow \infty) = 1$$
 +
*Es handelt sich um einen Hochpass.
 +
*Für sehr niedrige Frequenzen stellt die Induktivität $L$ einen Kurzschluss dar.
  
berechnen &nbsp; &#8658; &nbsp;Es handelt sich um einen <u>Hochpass</u>. Für sehr niedrige Frequenzen stellt die Induktivität $L$ einen Kurzschluss dar.
 
  
 
+
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist <u>Ja</u>:
'''(2)'''&nbsp; Jedes reale Netzwerk ist kausal. Die Impulsantwort $h(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn zum Zeitpunkt $t= 0$ am Eingang ein extrem kurzfristiger Impuls &ndash; ein so genannter Diracimpuls &ndash; angelegt wird. Aus Kausalitätsgründen kann dann natürlich am Ausgang nicht schon für Zeiten $t< 0$ ein Signal auftreten:
+
*Jedes reale Netzwerk ist kausal. Die Impulsantwort $h(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn zum Zeitpunkt $t= 0$ am Eingang ein extrem kurzfristiger Impuls &ndash; ein so genannter Diracimpuls &ndash; angelegt wird.  
$$y(t) = h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm}
+
*Aus Kausalitätsgründen kann dann natürlich am Ausgang nicht schon für Zeiten $t< 0$ ein Signal auftreten:
 +
:$$y(t) = h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm}
 
  t<0 \hspace{0.05cm}.$$
 
  t<0 \hspace{0.05cm}.$$
 
+
*Formal lässt sich dies folgendermaßen zeigen: Die Hochpass&ndash;Übertragungsfunktion $H_1(f)$ kann wie folgt umgeformt werden:
Formal lässt sich dies folgendermaßen zeigen: Die Hochpass&ndash;Übertragungsfunktion $H_1(f)$ kann wie folgt umgeformt werden:
+
:$$H_1(f) = \frac{{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}
$$H_1(f) = \frac{{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}
 
 
  = 1- \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}
 
  = 1- \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Die zweite Übertragungsfunktion beschreibt die zu $H_1(f)$ äquivalente Tiefpassfunktion, die im Zeitbereich zur Exponentialfunktion führt. Die &bdquo;1&rdquo; wird zu einer Diracfunktion. Mit $T = 2\pi \cdot f_{\rm G}$ gilt somit für $t \ge 0$:
 +
:$$h_1(t) = \delta(t) - {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Für $t< 0$ gilt dagegen $h_1(t)= 0$, womit die Kausalität nachgewiesen wäre.
  
Die zweite Übertragungsfunktion beschreibt die zu $H_1(f)$ äquivalente Tiefpassfunktion, die im Zeitbereich zur Exponentialfunktion führt. Die &bdquo;1&rdquo; wird zu einer Diracfunktion. Mit $T = 2\pi \cdot f_{\rm G}$ gilt somit für $t \ge 0$:
 
$$h_1(t) = \delta(t) - {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.05cm}.$$
 
 
Für $t< 0$ gilt dagegen $h_1(t)= 0$, womit die Kausalität nachgewiesen wäre &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <u>Antwort Ja</u>.
 
  
  
 
'''(3)'''&nbsp; Die Hintereinanderschaltung zweier Hochpässe führt zu folgender Übertragungsfunktion:
 
'''(3)'''&nbsp; Die Hintereinanderschaltung zweier Hochpässe führt zu folgender Übertragungsfunktion:
$$\begin {align*}H_2(f) = \left [H_1(f)\right ]^2  & =\frac{\left [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2}{\left [1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2}
+
:$$H_2(f) = \left [H_1(f)\right ]^2  =\frac{\left [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2}{\left [1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2}
 
  =\frac{\left [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2 \cdot \left [(1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\right ]^2}
 
  =\frac{\left [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2 \cdot \left [(1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\right ]^2}
  {\left [(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}) \cdot (1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\right ]^2}= \\ & = \frac{(f/f_{\rm G})^4 - (f/f_{\rm G})^2 +{\rm j}\cdot 2
+
  {\left [(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}) \cdot (1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\right ]^2}=  \frac{(f/f_{\rm G})^4 - (f/f_{\rm G})^2 +{\rm j}\cdot 2
 
\cdot  (f/f_{\rm G})^3)}
 
\cdot  (f/f_{\rm G})^3)}
  {\left [1+(f/f_{\rm G})^2 \right ]^2}\hspace{0.05cm}.\end {align*}$$
+
  {\left [1+(f/f_{\rm G})^2 \right ]^2}\hspace{0.05cm}.$$
  
 
Mit $f = f_{\rm G}$ folgt daraus:
 
Mit $f = f_{\rm G}$ folgt daraus:
$$H_2(f = f_{\rm G})  = \frac{1 - 1 +{\rm j}\cdot 2}
+
:$$H_2(f = f_{\rm G})  = \frac{1 - 1 +{\rm j}\cdot 2}
  {4}= {\rm j} /{2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm Re} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \}  = 0, \hspace{0.4cm}
+
  {4}= {\rm j} /{2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm Re} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.4cm}
 
  {\rm Im} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
 
  {\rm Im} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind hier <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
+
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
 
* Da  für $t < 0$ die Impulsantwort $h_1(t) = 0$  ist, erfüllt auch die Faltungsoperation $h_2(t) = h_1(t) \star h_1(t)$ die Kausalitätsbedingung. Ebenso ergibt die $n$&ndash;fache Faltung eine kausale Impulsantwort: &nbsp;  $h_n(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm}
 
* Da  für $t < 0$ die Impulsantwort $h_1(t) = 0$  ist, erfüllt auch die Faltungsoperation $h_2(t) = h_1(t) \star h_1(t)$ die Kausalitätsbedingung. Ebenso ergibt die $n$&ndash;fache Faltung eine kausale Impulsantwort: &nbsp;  $h_n(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm}
 
  t<0 \hspace{0.05cm}.$
 
  t<0 \hspace{0.05cm}.$
*Bei kausaler Impulsantwort $h_2(t)$ hängen aber der Real&ndash; und der Imaginärteil der Spektralfunktion $H_2(f)$ über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen. Mit der Abkürzung $x = f/f_{\rm G}$ < und dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) gilt somit:
+
*Bei kausaler Impulsantwort $h_2(t)$ hängen aber der Real&ndash; und der Imaginärteil der Spektralfunktion $H_2(f)$ über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen. Mit der Abkürzung $x = f/f_{\rm G}$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) gilt somit:
 
:$$\frac{x^4- x^2}{x^4+2 x^2+1} \quad
 
:$$\frac{x^4- x^2}{x^4+2 x^2+1} \quad
 
\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad
 
\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad

Revision as of 17:20, 14 March 2018

Zwei Vierpolschaltungen

Die Grafik zeigt oben den Vierpol mit der Übertragungsfunktion

$$H_1(f) = \frac{{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}} \hspace{0.05cm},$$

wobei $f_{\rm G}$ die 3dB–Grenzfrequenz angibt:

$$f_{\rm G} = \frac{R}{2 \pi \cdot L} \hspace{0.05cm}.$$

Durch Hintereinanderschalten $n$ gleich aufgebauter Vierpole $H_1(f)$ kommt man zu der Übertragungsfunktion

$$H_n(f) = \big [H_1(f)\big ]^n =\frac{\big [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^n}{\big [1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^n} \hspace{0.05cm}.$$

Vorausgesetzt ist hierbei eine geeignete Widerstandsentkopplung, die aber zur Lösung dieser Aufgabe nicht von Bedeutung ist. Die untere Grafik zeigt zum Beispiel die Realisierung der Übertragungsfunktion $H_2(f)$.

In dieser Aufgabe wird ein solcher Vierpol im Hinblick auf seine Kausalitätseigenschaften betrachtet. Bei einem jeden kausalen System erfüllen der Real– und der Imaginärteil der Spektralfunktion $H(f)$ die Hilbert–Transformation, was durch das folgende Kurzzeichen ausgedrückt wird:

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$

Da die Hilbert–Transformation nicht nur für Übertragungsfunktionen, sondern auch für Zeitsignale wichtige Aussagen liefert, wird die Korrespondenz häufig durch die allgemeine Variable $x$ ausgedrückt, die je nach Anwendungsfall als normierte Frequenz oder als normierte Zeit zu interpretieren ist.



Hinweise:


Fragebogen

1

Wie kann $H_1(f)$ charakterisiert werden?

$H_1(f)$ beschreibt einen Tiefpass.
$H_1(f)$ beschreibt einen Hochpass.

2

Beschreibt $H_1(f)$ ein kausales Netzwerk?

Ja.
Nein.

3

Berechnen Sie die Übertragungsfunktion $H_2(f)$. Welcher komplexe Wert ergibt sich für $f = f_{\rm G}$?

${\rm Re}[H_2(f = f_{\rm G})] \ = \ $

${\rm Im}[H_2(f = f_{\rm G})] \ = \ $

4

Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

$H_2(f)$ beschreibt ein kausales System.
$(x^4 - x^2)/(x^4 +2 x^2 + 1)$ und $2x^3/(x^4 +2 x^2 + 1)$ sind ein Hilbert–Paar.
Für $n > 2$ ist die Kausalitätsbedingung nicht erfüllt.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Mit der angegebenen Übertragungsfunktion kann man nach dem Spannungsteilerprinzip berechnen:
$$H_1(f = 0) = 0, \hspace{0.2cm}H_1(f \rightarrow \infty) = 1$$
  • Es handelt sich um einen Hochpass.
  • Für sehr niedrige Frequenzen stellt die Induktivität $L$ einen Kurzschluss dar.


(2)  Richtig ist Ja:

  • Jedes reale Netzwerk ist kausal. Die Impulsantwort $h(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn zum Zeitpunkt $t= 0$ am Eingang ein extrem kurzfristiger Impuls – ein so genannter Diracimpuls – angelegt wird.
  • Aus Kausalitätsgründen kann dann natürlich am Ausgang nicht schon für Zeiten $t< 0$ ein Signal auftreten:
$$y(t) = h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Formal lässt sich dies folgendermaßen zeigen: Die Hochpass–Übertragungsfunktion $H_1(f)$ kann wie folgt umgeformt werden:
$$H_1(f) = \frac{{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}} = 1- \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die zweite Übertragungsfunktion beschreibt die zu $H_1(f)$ äquivalente Tiefpassfunktion, die im Zeitbereich zur Exponentialfunktion führt. Die „1” wird zu einer Diracfunktion. Mit $T = 2\pi \cdot f_{\rm G}$ gilt somit für $t \ge 0$:
$$h_1(t) = \delta(t) - {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.05cm}.$$
  • Für $t< 0$ gilt dagegen $h_1(t)= 0$, womit die Kausalität nachgewiesen wäre.


(3)  Die Hintereinanderschaltung zweier Hochpässe führt zu folgender Übertragungsfunktion:

$$H_2(f) = \left [H_1(f)\right ]^2 =\frac{\left [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2}{\left [1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2} =\frac{\left [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2 \cdot \left [(1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\right ]^2} {\left [(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}) \cdot (1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\right ]^2}= \frac{(f/f_{\rm G})^4 - (f/f_{\rm G})^2 +{\rm j}\cdot 2 \cdot (f/f_{\rm G})^3)} {\left [1+(f/f_{\rm G})^2 \right ]^2}\hspace{0.05cm}.$$

Mit $f = f_{\rm G}$ folgt daraus:

$$H_2(f = f_{\rm G}) = \frac{1 - 1 +{\rm j}\cdot 2} {4}= {\rm j} /{2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm Re} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.4cm} {\rm Im} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge:

  • Da für $t < 0$ die Impulsantwort $h_1(t) = 0$ ist, erfüllt auch die Faltungsoperation $h_2(t) = h_1(t) \star h_1(t)$ die Kausalitätsbedingung. Ebenso ergibt die $n$–fache Faltung eine kausale Impulsantwort:   $h_n(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$
  • Bei kausaler Impulsantwort $h_2(t)$ hängen aber der Real– und der Imaginärteil der Spektralfunktion $H_2(f)$ über die Hilbert–Transformation zusammen. Mit der Abkürzung $x = f/f_{\rm G}$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) gilt somit:
$$\frac{x^4- x^2}{x^4+2 x^2+1} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad \frac{2x^3}{x^4+2 x^2+1}\hspace{0.05cm}.$$