Information Theory/AWGN Channel Capacity for Continuous-Valued Input

1. Information Theory
2. Wertkontinuierliche Informationstheorie
3. AWGN Channel Capacity for Continuous-Valued Input

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Transinformation zwischen wertkontinuierlichen Zufallsgrößen

Im Kapitel Informationstheoretisches Modell der Digitalsignalübertragung wurde die Transinformation (englisch: Mutual Information) zwischen den beiden wertdiskreten Zufallsgrößen $X$ und $Y$ unter Anderem in folgender Form angegeben:

$$I(X;Y) = \hspace{-0.4cm} \sum_{(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp}\hspace{0.05cm} (P_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.8cm} P_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{ P_{XY}(x, y)}{P_{X}(x) \cdot P_{Y}(y)} \hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung entspricht gleichzeitig der Kullback–Leibler–Distanz (kurz KLD) zwischen der Verbundwahrscheinlichkeitsfunktion $P_{XY}$ und dem Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X$ und $P_Y$ :

$$I(X;Y) = D(P_{XY} \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}P_{X} \cdot P_{Y}) \hspace{0.05cm}.$$

Um daraus die Transinformation $I(X; Y)$ zwischen zwei wertkontinuierlichen Zufallsgrößen $X$ und $Y$ abzuleiten, geht man wie folgt vor, wobei Hochkommata auf eine quantisierte Größe hinweisen:

• Man quantisiert die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ (mit den Quantisierungsintervallen ${\it Δ}x$ und ${\it Δ}y$) und erhält so die Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_{X\hspace{0.01cm}′}$ und $P_{Y\hspace{0.01cm}′}$ .
• Die „Vektoren” $P_{X\hspace{0.01cm}′}$ und $P_{Y\hspace{0.01cm}′}$ werden nach den Grenzübergängen ${\it Δ}x → 0, {\it Δ}y → 0$ unendlich lang, und auch die Verbund–PMF $P_{X\hspace{0.01cm}′\hspace{0.08cm}Y\hspace{0.01cm}′}$ ist dann in der Fläche unendlich weit ausgedehnt.
• Durch diese Grenzübergänge ergeben sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen der drei kontinuierlichen Zufallsgrößen entsprechend den folgenden Gleichungen:

$$f_X(x_{\mu}) = \frac{P_{X\hspace{0.01cm}'}(x_{\mu})}{\it \Delta_x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}f_Y(y_{\mu}) = \frac{P_{Y\hspace{0.01cm}'}(y_{\mu})}{\it \Delta_y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}f_{XY}(x_{\mu}\hspace{0.05cm}, y_{\mu}) = \frac{P_{X\hspace{0.01cm}'\hspace{0.03cm}Y\hspace{0.01cm}'}(x_{\mu}\hspace{0.05cm}, y_{\mu})}{\it \Delta_x} \cdot {\it \Delta_y} \hspace{0.05cm}.$$

• Aus der Doppelsumme in der obigen Gleichung wird nach der Umbenennung $Δx → d_x$ bzw. $Δy → d_y$ die für wertkontinuierliche Zufallsgrößen gültige Gleichung:

$$I(X;Y) = \hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.4cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm} (\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{ f_{XY}(x, y) } {f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y)} \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$  Durch Aufspaltung dieses Doppelintegrals lässt für die Transinformation auch schreiben:

$$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY)\hspace{0.05cm}.$$

Verwendet ist hierbei die differentielle Verbund–Entropie

$$h(XY) = -\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.4cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm} (\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [f_{XY}(x, y) ] \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y$$

sowie die beiden differentiellen Einzel–Entropien

$$h(X) = -\hspace{-0.7cm} \int\limits_{x \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}{\rm supp}\hspace{0.03cm} (\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [f_X(x)] \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} h(Y) = -\hspace{-0.7cm} \int\limits_{y \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}{\rm supp}\hspace{0.03cm} (\hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [f_Y(y)] \hspace{0.1cm}{\rm d}y \hspace{0.05cm}.$$

Zur Äquivokation und Irrelevanz

Wir gehen weiter von der wertkontinuierlichen Transinformationsgleichung $I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY)$ aus. Diese Darstellung findet sich auch im folgenden Schaubild (linke Grafik).

Darstellung der Transinformation für wertkontinuierliche Zufallsgrößen

Daraus erkennt man, dass die Transinformation auch noch wie folgt dargestellt werden kann:

$$I(X;Y) = h(Y) - h(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) =h(X) - h(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y)\hspace{0.05cm}.$$

Diese fundamentalen informationstheoretischen Zusammenhänge kann man auch aus der rechten Grafik ablesen. Diese gerichtete Darstellung ist für Nachrichtenübertragungssysteme besonders geeignet.

Die abfließende bzw. zufließende differentielle Entropie kennzeichnen

• die Äquivokation (englisch: Equivocation):

$$h(X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y) =\hspace{0.2cm} -\int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.4cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp}\hspace{0.03cm} (\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \left [{f_{\hspace{0.03cm}X \mid \hspace{0.03cm} Y} (x \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} y)} \right] \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm},$$

• die Irrelevanz (englisch: Irrelevance):

$$h(Y \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X) =\hspace{0.2cm}- \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.4cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp}\hspace{0.03cm} (\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \left [{f_{\hspace{0.03cm}Y \mid \hspace{0.03cm} X} (y \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} x)} \right] \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$

Auf die Bedeutung dieser beiden informationstheoretischen Größen wird in der Aufgabe 4.5Z noch genauer eingegangen.

Vergleicht man die grafischen Darstellungen der Transinformation bei

• wertdiskreten Zufallsgrößen im Abschnitt Informationstheoretisches Modell der Digitalsignalübertragung und
• wertkontinuierlichen Zufallsgrößen entsprechend obigem Schaubild,

so erkennt man als einziges Unterscheidungsmerkmal, dass jedes „$H$” (Entropie; größer/gleich Null) durch ein „$h$” (differentielle Entropie, kann positiv, negativ oder Null sein) ersetzt wurde. Ansonsten ist die Transinformation in beiden Darstellungen gleich und es gilt stets $I(X; Y) ≥ 0$. Im Folgenden verwenden wir meist den Logarithmus dualis   ⇒   $\log_2$ und erhalten somit die Transinformation in „bit”.

Transinformationsberechnung bei additiver Störung

Wir betrachten nun ein sehr einfaches Modell der Nachrichtenübertragung:

• Die Zufallsgröße $X$ steht für das (mittelwertfreie) Sendesignal und ist durch die WDF $f_X(x)$ und die Varianz $σ_X^2$ gekennzeichnet. Die Sendeleistung $P_X$ ist identisch mit $σ_X^2$.
• Die additive Störung $N$ ist durch die WDF $f_N(n)$ und die Störleistung $P_N = σ_N^2$ gegeben. Wenn $X$ und $N$ als statistisch unabhängig angenommen werden   ⇒   signalunabhängiges Rauschen, dann gilt $\text{E}[X · N] = \text{E}[X] · \text{E}[N] = 0$ .
• Das Empfangssignal ist $Y = X + N$ Die Ausgangs–WDF $f_Y(y)$ ist mit der Faltungsoperation berechenbar   ⇒   $f_Y(y) = f_X(x) ∗ f_N(n)$ und für die Empfangsleistung (Varianz) gilt:

$$P_Y = \sigma_Y^2 = {\rm E}[Y^2] = {\rm E}[(X+N)^2] = {\rm E}[X^2] + {\rm E}[N^2] = \sigma_X^2 + \sigma_N^2 = P_X + P_N \hspace{0.05cm}.$$

Die in der folgenden Grafik eingezeichneten Dichtefunktionen (rechteck– bzw. trapezförmig) sollen nur den Rechengang verdeutlichen und haben keine praktische Relevanz.

Nachrichtenübertragungssystem mit additiver Störung

Zur Berechnung der Transinformation zwischen dem Eingang $X$ und dem Ausgang $Y$ gibt es entsprechend dem Schaubild auf der vorherigen Seite drei Möglichkeiten:

• Berechnung entsprechend $I(X, Y) = h(X) + h(Y) - h(XY)$:

Die beiden ersten Terme sind aus $f_X(x)$ bzw. $f_Y(y)$ in einfacher Weise berechenbar. Problematisch ist die differentielle Verbundentropie $h(XY)$. Hierzu benötigt man die 2D–Verbund–WDF $f_{XY}(x, y)$, die meist nicht direkt gegeben ist.

• Berechnung entsprechend $I(X, Y) = h(Y) - h(Y|X)$:

Hierbei bezeichnet $h(Y|X)$ die differentielle Streuentropie. Es gilt $h(Y|X) = h(X + N|X) = h(N)$, so dass $I(X; Y)$ bei Kenntnis von $f_X(x)$ und $f_N(n)$ über die Gleichung $f_Y(y) = f_X(x) ∗ f_N(n)$ sehr einfach zu berechnen ist.

• Berechnung entsprechend $I(X, Y) = h(X) - h(X|Y)$:

Nach dieser Gleichung benötigt man allerdings die differentielle Rückschlussentropie $h(X|Y)$, die schwieriger angebbar ist als $h(Y|X)$.

$\text{Fazit:}$  Im Folgenden verwenden wir die mittlere Gleichung und schreiben wir für die Transinformation zwischen dem Eingang $X$ und dem Ausgang $Y$ eines Nachrichtenübertragungssystems bei additiver und unkorrelierter Störung $N$:

$$I(X;Y) \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.01cm} h(Y) \hspace{-0.01cm}- \hspace{-0.01cm}h(N) \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.7cm} \int\limits_{y \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}{\rm supp}(f_Y)} \hspace{-0.65cm} f_Y(y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [f_Y(y)] \hspace{0.1cm}{\rm d}y +\hspace{-0.7cm} \int\limits_{n \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}{\rm supp}(f_N)} \hspace{-0.65cm} f_N(n) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [f_N(n)] \hspace{0.1cm}{\rm d}n\hspace{0.05cm}.$$

Kanalkapazität des AWGN–Kanals

Zur Herleitung der AWGN–Kanalkapazität

Spezifiziert man im bisherigen allgemeinen Systemmodell die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Störung (bzw. des Rauschens) als gaußisch entsprechend

$$f_N(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_N^2}} \cdot {\rm e}^{ - \hspace{0.05cm}{n^2}/(2 \sigma_N^2) } \hspace{0.05cm}, $$

so erhalten wir das folgende Modell zur Berechnung der Kanalkapazität des so genannten AWGN–Kanals (Additive White Gaussian Noise). Meist ersetzen wir $\sigma_N^2$ durch $P_N$.

Aus vorherigen Abschnitten wissen wir:

• Die Kanalkapazität $C_{\rm AWGN}$ gibt die maximale Transinformation $I(X; Y)$ zwischen der Eingangsgröße $X$ und der Ausgangsgröße $Y$ des AWGN–Kanals an.
• Die Maximierung bezieht sich dabei auf die bestmögliche Eingangs–WDF. Somit gilt unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung:

$$C_{\rm AWGN} = \max_{f_X:\hspace{0.05cm} {\rm E}[X^2] \le P_X} \hspace{-0.35cm} I(X;Y) = -h(N) + \max_{f_X:\hspace{0.05cm} {\rm E}[X^2] \le P_X} \hspace{-0.35cm} h(Y) \hspace{0.05cm}.$$

Hier ist bereits berücksichtigt, dass sich die Maximierung allein auf die differentielle Entropie $h(Y)$ ⇒ WDF $f_Y(y)$ bezieht. Bei gegebener Störleistung $P_N$ ist nämlich $h(N) = 1/2 · \log_2 (2π{\rm e} · P_N)$ eine Konstante.

• Das Maximum für $h(Y)$ erhält man für eine Gaußsche WDF $f_Y(y)$, wobei $P_Y = P_X + P_N$ zu setzen ist, siehe Seite Maximale differentielle Entropie bei Leistungsbegrenzung:

$${\rm max}[h(Y)] = 1/2 · \log_2 [2πe · (P_X + P_N)].$$

• Die Ausgangs–WDF $f_Y(y) = f_X(x) ∗ f_N(n)$ ist aber nur dann gaußförmig, wenn sowohl $f_X(x)$ als auch $f_N(n)$ Gaußfunktionen sind. Ein plakativer Merkspruch zur Faltungsoperation lautet nämlich: „Gauß bleibt Gauß, und Nicht–Gauß wird nie (exakt) Gauß”.

$\text{Fazit:}$  Beim AWGN–Kanal ⇒ Gaußsche Rausch-WDF $f_N(n)$ ergibt sich die Kanalkapazität genau dann, wenn die Eingangs–WDF $f_X(x)$ ebenfalls gaußförmig ist:

$$C_{\rm AWGN} = h_{\rm max}(Y) - h(N) = 1/2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y}{P_N} = 1/2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac{P_X}{P_N}) \hspace{0.05cm}.$$

Numerische Ergebnisse für die AWGN–Kanalkapazität als Funktion von ${P_X}/{P_N}$

Parallele Gaußsche Kanäle

Parallele AWGN–Kanäle

Wir betrachten nun $K$ parallele Gaußkanäle entsprechend der nebenstehenden Grafik von $X_1 → Y_1$, ... , $X_k → Y_k$, ... , $X_K → Y_K$.

• Die Sendeleistungen in den $K$ Kanälen nennen wir

$$P_1 = \text{E}[X_1^2], \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , P_k = \text{E}[X_k^2], \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , P_K = \text{E}[X_K^2].$$

• Die $K$ Störleistungen können ebenfalls unterschiedlich sein:

$$σ_1^2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , σ_k^2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , σ_K^2.$$

Gesucht ist nun die maximale Transinformation $I(X_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, X_K\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, Y_K) $ zwischen

• den $K$ Eingangsgrößen $X_1$, ... , $X_K$, sowie
• den $K$ Ausgangsgrößen $Y_1$, ... , $Y_K$,

die wir als die Gesamt–Kanalkapazität dieser AWGN–Konfiguration bezeichnen.

Ausgegangen wird von Leistungsbegrenzung des Gesamtsystems. Das heißt: Die Summe aller Leistungen $P_k$ in den $K$ Einzelkanälen darf den vorgegebenen Wert $P_X$ nicht überschreiten:

$$P_1 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}+ P_K = \hspace{0.1cm} \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}{\rm E} \left [ X_k^2\right ] \le P_{X} \hspace{0.05cm}.$$

Unter der nur wenig einschränkenden Annahme unabhängiger Störquellen $N_1$, ... , $N_K$ kann für die Transinformation nach einigen Zwischenschritten geschrieben werden:

$$I(X_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, X_K\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1,\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, Y_K) = h(Y_1, ... \hspace{0.05cm}, Y_K ) - \hspace{0.1cm} \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm} h(N_k)\hspace{0.05cm}.$$

Dafür kann folgende obere Schranke angegeben werden:

$$I(X_1,\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, X_K\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, ... \hspace{0.05cm}, Y_K) \hspace{0.2cm} \le \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm} \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm} [h(Y_k - h(N_k)] \hspace{0.2cm} \le \hspace{0.1cm} 1/2 \cdot \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac{P_k}{\sigma_k^2}) \hspace{0.05cm}.$$

• Das Gleichheitszeichen (Identität) gilt bei mittelwertfreien Gaußschen Eingangsgrößen $X_k$ sowie bei statistisch voneinander unabhängigen Störungen $N_k$.
• Man kommt von dieser Gleichung zur maximalen Transinformation   ⇒   Kanalkapazität, wenn man die gesamte Sendeleistung $P_X$ unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Störungen in den einzelnen Kanälen ( $σ_k^2$ ) bestmöglich aufteilt.
• Dieses Optimierungsproblem lässt sich wieder mit dem Verfahren der Lagrange–Multiplikatoren elegant lösen. Das folgende Beispiel erläutert nur das Ergebnis.

Bestmögliche Leistungsaufteilung auf K = 4 Kanäle („Water–Filling”)

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten $K$ = 4 parallele Gaußkanäle mit vier unterschiedlichen Störleistungen $σ_1^2$, ... , $σ_4^2$ gemäß der nebenstehenden Abbildung (schwach–grüne Hinterlegung).

• Gesucht ist die bestmögliche Aufteilung der Sendeleistung auf die vier Kanäle.
• Würde man dieses Profil langsam mit Wasser auffüllen, so würde das Wasser zunächst nur in den Kanal 2 fließen.
• Gießt man weiter, so sammelt sich auch im Kanal 1 etwas Wasser an und später auch im Kanal 4.

Die eingezeichnete „Wasserhöhe” $H$ beschreibt genau den Zeitpunkt, zu dem die Summe $P_1 + P_2 + P_4$ der insgesamt zur Verfügung stehenden Sendeleistung $P_X$ entspricht:

• Die optimale Leistungsaufteilung für dieses Beispiel ergibt $P_2 > P_1 > P_4$ sowie $P_3 = 0$.
• Erst bei größerer Sendeleistung $P_X$ würde auch dem dritten Kanal eine kleine Leistung $P_3$ zugewiesen.

Man bezeichnet dieses Allokationsverfahren als Water–Filling–Algorithmus.

$\text{Beispiel 2:}$  Werden alle $K$ Gaußkanäle in gleicher Weise gestört ⇒ $σ_1^2 = \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} = σ_K^2 = P_N$, so sollte man natürlich die gesamte zur Verfügung stehende Sendeleistung $P_X$ gleichmäßig auf alle Kanäle verteilen: $P_k = P_X/K$. Für die Gesamtkapazität erhält man dann:

Kanalkapazität bei K parallelen Kanälen

$$C_{\rm Gesamt} = \frac{ K}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac{P_X}{K \cdot P_N}) \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Gesamtkapazität als Funktion von $P_X/P_N$ für $K = 1$, $K = 2$ und $K = 3$:

• Bei $P_X/P_N = 10 \ ⇒ \ 10 · \text{lg} (P_X/P_N) = 10 \ \text{dB}$ wird die Gesamtkapazität um ca. $50\%$ größer, wenn man die Gesamtleistung $P_X$ auf zwei Kanäle gleichmäßig aufteilt:   $P_1 = P_2 = P_X/2$.
• Im Grenzfall $P_X/P_N → ∞$ nimmt die Gesamtkapazität um den Faktor $K$ zu   ⇒   Verdoppelung mit $K = 2$.

Die beiden identischen und voneinander unabhängigen Kanäle kann man auf unterschiedliche Weise realisieren, zum Beispiel durch Zeit–, Frequenz– oder Raummultiplexverfahren.

Der Fall $K = 2$ lässt sich aber auch durch die Verwendung orthogonaler Basisfunktionen wie „Cosinus” und „Sinus” verwirklichen wie zum Beispiel bei

• der Quadratur–Amplitudenmodulation (QAM) oder
• einer mehrstufigen Phasenmodulation wie QPSK oder 8–PSK.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.5: Transinformation aus 2D-WDF

Aufgabe 4.5Z: Nochmals Transinformation

Aufgabe 4.6: AWGN–Kanalkapazität

Aufgabe 4.7: Mehrere parallele Gaußkanäle

Aufgabe 4.7Z: Zum Water–Filling–Algorithmus