Aufgaben:Exercise 2.1Z: Different Signal Courses

• Return to book

Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt. Die ersten drei Signale (A), (B) und (C) sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter. Der Momentanwert dieser Signale $x(t)$ wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst.

Im Einzelnen sind dargestellt:

(A):   ein dreieckförmiges periodisches Signal,

(B):   das Signal (A) nach Einweggleichrichtung,

(C):   ein rechteckförmiges periodisches Signal,

(D):   ein rechteckförmiges Zufallssignal,

(E):   das Zufallssignal  (D)  nach  AMI-Codierung; hierbei bleibt die „Null” erhalten, während eine jede „Eins” alternierend mit „$+2\hspace{0.03cm}\rm V$” und „$-2\hspace{0.03cm} \rm V$” codiert wird.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Vom Zufallsexperiment zurZufallsgröße.

Fragebogen

1

Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgröße? Überlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl $M$.

	Signal (A)
	Signal (B)
	Signal (C)
	Signal (D)
	Signal (E)

2

Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine (ausschließlich) kontinuierliche Zufallsgröße?

	Signal (A)
	Signal (B)
	Signal (C)
	Signal (D)
	Signal (E)

3

Welche Zufallsgrößen besitzen einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil?

	Signal (A)
	Signal (B)
	Signal (C)
	Signal (D)
	Signal (E)

4

Für das Signal (D) wird die relative Häufigkeit $h_0$ empirisch über $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. Benennen Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt?

${\rm Min[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ ] \ =$

5

Wieviele Symbole ($N_\min$) müsste man für diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die so ermittelte Häufigkeit liegt zwischen 0.499 und 0.501” größer als $99\%$ ist?

$N_\min \ = $ $\ \cdot 10^9$

Musterlösung

Solution

(1)  Die Zufallsgrößen (C) und (D) sind binär ($M= 2$), während die Zufallsgröße (E) dreiwertig ist. Richtig sind die Lösungsvorschläge 3, 4 und 5.

(2)  Die Zufallsgröße (A) ist kontinuierlich und kann alle Werte zwischen $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$ mit der gleichen Wahrscheinlichkeit annehmen. Alle anderen Zufallsgrößen sind diskret.

(3)  Nur die Zufallsgröße (B) hat einen diskreten Anteil bei $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und außerdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen $0\hspace{0.03cm} \rm V$ und $+2\hspace{0.03cm}\rm V$).

(4)  Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen gilt: $$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$

Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsmäßig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar: $${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Min}[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$

(5)  Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen: $${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$ Aufgelöst nach $N$ erhält man: $$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$