Aufgaben:Exercise 2.7: C Programs "z1" and "z2"

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Die beiden hier angegebenen C-Programme eignen sich zur Erzeugung diskreter Zufallsgrößen:

• Die Funktion „z1” erzeugt eine $M$–-stufige Zufallsgröße mit dem Wertevorrat $\{0, 1$, ... , $M-1\}$, die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden im Array p_array mit der Eigenschaft „Float” übergeben. Die Funktion random() liefert gleichverteilte Float–Zufallsgrößen zwischen $0$ und $1$.
• Eine zweite Funktion z2 (Quelltext siehe unten) liefert eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die beiden Parameter $I$ und $p$ festgelegt ist. Dieses geschieht unter Verwendung der Funktion z1.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen.
• Insbesondere wird auf die Seite Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen Bezug genommen.

Fragebogen

1

Es gelte $M=4$ und $p\_array = \{0.2, \ 0.3, \ 0.4, \ 0.1\}$. Welches Ergebnis liefert die Funktion $z1$, wenn die Randomfunktion den Wert $x = 0.75$ zurückgibt?

$z1 \ =$

2

Welche der nachfolgenden Aussagen sind bezüglich $z1$ zutreffend?

	Man könnte auf die Zuweisung „x = random()” in Zeile 5 verzichten und in Zeile 8 direkt mit „random()”$ vergleichen.
	Sind alle übergebenen Wahrscheinlichkeiten gleich, so gäbe es schneller Programmrealisierungen als $z1$.
	Der Rückgabewert „random() = 0.2” führt zum Ergebnis $z1= 1$.

3

Welche der nachfolgenden Aussagen sind bezüglich $z2$ zutreffend?

	Das Programm erzeugt eine binomialverteilte Zufallsgröße.
	Das Programm erzeugt eine poissonverteilte Zufallsgröße.
	Mit $I = 4$ sind für $z2$ die Werte $0, 1, 2, 3, 4$ möglich.
	Das Einbinden der mathematischen Bibliothek „math.h” ist erforderlich, da in $z2$ die Funktion „pow” (Potenzieren) verwendet wird.

4

Welcher Wert steht in $p\_array[2]$ beim Aufruf mit $I = 4$ und $p = 0.25$?

$I=4,\; p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\ \ \ \ p\_array[2] \ = $

Musterlösung

Solution

(1)  Nach dem ersten Schleifendurchlauf ($m = 0$) ist die Variable $summe = 0.2$, beim nächsten ($m = 1$) gilt $summe = 0.2 + 0.3 =0.5$. In beiden Fällen ist somit die Variable $summe < x = 0.75$. Erst bei $m = 2$ ist die Rücksprungbedingung erfüllt: $0.9 > x$. Somit ist $\underline{z1 = 2}$.

(2)  Richtig sind die Vorschläge 2 und 3:

• Würde man auf die Hilfsvariable $x$ verzichten und in Zeile 8 „summe > random()” schreiben, so würde bei jedem Schleifendurchgang ein neuer Zufallswert erzeugt und $z1$ hätte dann nicht die gewünschten Eigenschaften.
• $z1$ arbeitet gemäß dem Schaubild auf der Seite „Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen“ im Theorieteil. Dort findet man eine deutlich schnellere Implementierung für den Fall gleicher Wahrscheinlichkeiten ($1/M$).
• Im ersten Durchlauf ($m = 0$) ist in diesem Fall die Rücksprungbedingung aufgrund der Kleiner/Gleich-Abfrage nicht erfüllt; der Ausgabewert ist tatsächlich $z1 = 1$.

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

• Es ergibt sich eine binomialverteilte Zufallsgröße, und zwar mit Wertevorrat $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
• Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$ benötigt man hier die mathematische Bibliothek.
• Das Potenzieren könnte aber auch durch $I$–fache Multiplikation realisiert werden.

(4)  Aufgrund der Zeile 6 beinhaltet das Feldelement $p\_array[0]$ vor der Programmschleife ($i = 0$) den Wert $(1 -p)^{I}$. Im ersten Schleifendurchlauf ($i = 1$) wird folgender Wert eingetragen: $${p\_array[1]}=\frac{ p\cdot I}{ 1- p}\cdot{p\_array[0]}= I\cdot p\cdot(1- p)^{ I- 1}={\rm Pr}(z2= 1) .$$

Im zweiten Schleifendurchlauf ($i = 2$) wird die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „2” berechnet: $${p\_array[2]}=\frac{p\cdot (I- 1)}{ 2\cdot ( 1- p)}\cdot{ p\_array[1]}= \left({ I \atop { 2}}\right)\cdot p^{\rm 2}\cdot( 1- p)^{\rm 2}={\rm Pr}( z = 2) .$$

Für $I= 4$ und $p = 0.25$ erhält man folgenden Zahlenwert („4 über 2” ergibt 6): $${p\_array[2]}={\rm Pr}( z 2=2)=6\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{9}{16} \hspace{0.15cm}\underline{=0.211}.$$