Aufgaben:Exercise 4.10: Binary and Quaternary

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Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt:

• Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer).
• Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole (mit Stufenzahl $M = 2$ bzw. $M = 4$) sind statistisch unabhängig.
• Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.
• Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:

$${\rm Pr}(b(t) = +b_0) = {\rm Pr}(b(t) = -b_0) ={1}/{2}.$$

• Dagegen gelte für das Quarternärsignal:

$${\rm Pr}(q(t) = +3 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -3 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {1}/{6},$$

$${\rm Pr}(q(t) = +1 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -1 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {2}/{6}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.

Fragebogen

1

Berechnen Sie den AKF-Wert $\varphi_q(\tau = 0)$ des Quarternärsignals.

$\varphi_q(\tau = 0) \ =$ $\ \rm V^2$

2

Wie groß ist der AKF-Wert bei $\tau = T$? Begründen Sie, warum die AKF-Werte für $|\tau| > T$ genauso groß sind. Skizzieren Sie den AKF-Verlauf.

$\varphi_q(\tau = T) \ =$ $\ \rm V^2$

3

Mit welchen Amplitudenwerten $(\pm b_0)$ hat das Binärsignal $b(t)$ genau die gleiche AKF?

$b_0\ =$ $\ \rm V$

4

Welche der folgenden Beschreibungsgrößen eines stochastischen Prozesses lassen sich aus der AKF ermitteln?

	Periodendauer.
	Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
	Linearer Mittelwert.
	Varianz.
	Moment 3. Ordnung.
	Phasenbeziehungen.

Musterlösung

Solution

(1)  Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$. Für diesen gilt:

$$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$

(2)  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:

$${\rm E} \left [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \right ] = {\rm E} \left [ q(t) \right ] \cdot {\rm E} \left [ q ( t + \nu T) \right ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.

(3)  Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $| \tau| > T$ ebenfalls identisch $0$, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. Für den quadratischen Mittelwert erhält man:

$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$

Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch.

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:

• die Periodendauer $T_0$ (diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich),
• der lineare Mittelwert (Wurzel aus dem Endwert der AKF für $\tau \to \infty$, und
• die Varianz (Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$).

Nicht ermittelt werden können:

• die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$) ist $f_q(q) \ne f_b(b)$),
• die Momente höherer Ordnung (für deren Berechnung benötigt man die WDF), sowie
• alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.