Channel Coding/Basics of Convolutional Coding

1. Channel Coding
2. Faltungscodierung und geeignete Decoder
3. Basics of Convolutional Coding

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# ÜBERBLICK ZUM DRITTEN HAUPTKAPITEL #

Dieses dritte Hauptkapitel behandelt Faltungscodes (englisch: Convolutional Codes), die erstmals 1955 von Peter Elias beschrieben wurden [Eli55]. Während bei den linearen Blockcodes (siehe Erstes Hauptkapitel) und den Reed–Solomon–Codes (siehe Zweites Hauptkapitel) die Codewortlänge jeweils $n$ ist, basiert die Theorie der Faltungscdes auf „semi–infiniten” Informations– und Codesequenzen. Ebenso liefert die Maximum–Likelihood–Decodierung mittels des Viterbi–Algorithmuses per se die gesamte Sequenz.

Im Einzelnen werden in diesem Kapitel behandelt:

• Wichtige Definitionen  für Faltungscodes: Coderate, Gedächtnis, Einflusslänge, freie Distanz
• Gemeinsamkeiten  und Unterschiede  zu den linearen Blockcodes,
• Generatormatrix  und Übertragungsfunktionsmatrix  eines Faltungscodes,
• gebrochen–rationale Übertragungsfunktionen  für systematische Faltungscodes,
• Beschreibung mit Zustandsübergangsdiagramm  und Trellisdiagramm,
• Terminierung  und Punktierung  von Faltungscodes,
• Decodierung  von Faltungscodes   ⇒   Viterbi–Algorithmus,
• Gewichtsfunktionen  und Näherungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.

Voraussetzungen und Definitionen

Wir betrachten in diesem Kapitel eine unendlich lange binäre Informationssequenz $\underline{u}$ und unterteilen diese in Informationsblöcke $\underline{u}_i$ zu je $k$ Bit. Man kann diesen Sachverhalt wie folgt formalisieren:

\[\underline{\it u} = \left ( \underline{\it u}_1, \underline{\it u}_2, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, \underline{\it u}_i , \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} \underline{\it u}_i = \left ( u_i^{(1)}, u_i^{(2)}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, u_i^{(k)}\right )\hspace{0.05cm},\]

\[u_i^{(j)}\in {\rm GF(2)}\hspace{0.3cm}{\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.3cm}1 \le j \le k \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \underline{\it u}_i \in {\rm GF}(2^k)\hspace{0.05cm}.\]

Im Englischen bezeichnet man eine solche Sequenz ohne negative Indizes als semi–infinite .

$\text{Definition:}$  Bei einem binären Faltungscode (englisch: Binary Convolutional Code ) wird zum Taktzeitpunkt $i$ ein Codewort $\underline{x}_i$ bestehend aus $n$ Codebits ausgegeben:

\[\underline{\it x}_i = \left ( x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, x_i^{(n)}\right )\in {\rm GF}(2^n)\hspace{0.05cm}.\]

Dieses ergibt sich entsprechend

• den $k$ Bit des aktuellen Informationsblockes $\underline{u}_i$, und
  

• den $m$ vorherigen Informationsblöcken $\underline{u}_{i-1}$, ... , $\underline{u}_{i-m}$.
  

Abhängigkeiten bei einem Faltungscodierer mit $m = 2$

Nebenstehende Grafik verdeutlicht diesen Sachverhalt für die Parameter $k = 4, n = 7, m = 2$ und $i = 4$. Die $n = 7$ zum Zeitpunkt $i = 4$ erzeugten Codebits $x_4^{(1)}$, ... , $x_4^{(7)}$ können (direkt) von den $k \cdot (m+1) = 12$ rot markierten Informationsbits abhängen und werden durch Modulo–2–Additionen erzeugt.

Gelb eingezeichnet ist zudem ein $(n, k)$–Faltungscodierer. Zu beachten ist, dass sich der Vektor $\underline{u}_i$ und die Sequenz $\underline{u}^{(i)}$ grundlegend unterscheiden:

• Während $\underline{u}_i = (u_i^{(1)}, u_i^{(2)}$, ... , $u_i^{(k)})$ die $k$ zum Zeitpunkt $i$ parallel anliegenden Informationsbits zusammenfasst,
• bezeichnet $\underline{u}^i = (u_1^{(i)}$, $u_2^{(i)}, \ \text{...})$ die (horizontale) Sequenz am $i$–ten Eingang des Faltungscodierers.

$\text{Definitionen bezüglich Faltungscodes:}$ 

• Die Coderrate ergibt sich wie bei den Blockcodes zu $R = k/n$.
  

• Man bezeichnet $m$ als das Gedächtnis (englisch: Memory ) des Codes und den Convolutional Code  selbst mit ${\rm CC} \ (n, k, m)$.
  

• Daraus ergibt sich die Einflusslänge (englisch: Constraint Length ) zu $\nu = m + 1$.
  

• Für $k > 1$ gibt man diese Parameter oft auch in Bit an:   $m_{\rm Bit} = m \cdot k$    bzw.    $\nu_{\rm Bit} = (m + 1) \cdot k$.
  

Gemeinsamkeiten und Unterschiede gegenüber Blockcodes

Aus der Definition auf der vorherigen Seite ist ersichtlich, dass ein binärer Faltungscode mit $m = 0$ (also ohne Gedächtnis) identisch wäre mit einem binären Blockcode wie in ersten Hauptkapitel beschrieben. Wir schließen diesen Grenzfall aus und setzen deshalb für das Folgende stets voraus:

• Das Gedächtnis $m$ sei größer oder gleich $1$.
  

• Die Einflusslänge $\nu$ sei größer oder gleich $2$.
  
  

$\text{Beispiel 1:}$  Bei einem $(7, 4)$–Blockcode hängt das Codewort $\underline {x}_4$ nur vom Informationswort $\underline{u}_4$ ab, nicht jedoch von $\underline{u}_2$ und $\underline{u}_3$, wie bei dem beispielhaften Faltungscodes (mit $m = 2$) auf der letzten Seite.

Abhängigkeiten bei einem $(7, 4)$–Blockcode zum Zeitpunkt $i = 4$

Gilt beispielsweise

$$x_4^{(1)} = u_4^{(1)}, \ x_4^{(2)} = u_4^{(2)},$$

$$x_4^{(3)} = u_4^{(3)}, \ x_4^{(4)} = u_4^{(4)}$$

sowie

$$x_4^{(5)} = u_4^{(1)}+ u_4^{(2)}+u_4^{(3)}\hspace{0.05cm},$$

$$x_4^{(6)} = u_4^{(2)}+ u_4^{(3)}+u_4^{(4)}\hspace{0.05cm},$$

$$x_4^{(7)} = u_4^{(1)}+ u_4^{(2)}+u_4^{(4)}\hspace{0.05cm},$$

so handelt es sich um einen so genannten systematischen Hamming–Code $\text{HS (7, 4, 3)}$. In der Grafik sind diese speziellen Abhängigkeiten für $x_4^{(1)}$ und $x_4^{(7)}$ rot eingezeichnet.

In gewisser Weise könnte man auch einen $(n, k)$–Faltungscode mit Gedächtnis $m ≥ 1$ als Blockcode interpretieren, dessen Codeparameter $n\hspace{0.05cm}' \gg n$ und $k\hspace{0.05cm}' \gg k$ allerdings sehr viel größere Werte annehmen müssten als die des vorliegenden Faltungscodes. Aufgrund der großen Unterschiede in der Beschreibung, in den Eigenschaften und insbesondere bei der Decodierung betrachten wir aber Faltungscodes in diesem Lerntutorial als etwas völlig Neues. Hierfür sprechen folgende Gründe:

• Ein Blockcodierer setzt Informationsworte der Länge $k$ Bit blockweise in Codeworte mit je $n$ Bit um. Der Blockcode ist dabei um so leistungsfähiger, je größer seine Codewortlänge $n$ ist. Bei gegebener Coderate $R = k/n$ erfordert dies auch eine große Informationswortlänge $k$.
  

• Dagegen wird die Korrekturfähigkeit eines Faltungscodes im wesentlichen durch sein Gedächtnis $m$ bestimmt. Die Codeparameter $k$ und $n$ werden hier meist sehr klein gewählt $(1, \ 2, \ 3, \ \text{...})$. Von praktischer Bedeutung sind somit nur ganz wenige und zudem sehr einfache Faltungscodes.
  

• Auch schon bei kleinen Werten für $k$ und $n$ überführt ein Faltungscoder eine ganze Sequenz von Informationsbits $(k\hspace{0.05cm}' → ∞)$ in eine sehr lange Sequenz von Codebits $(n\hspace{0.05cm}' = k\hspace{0.05cm}'/R)$. Ein solcher Code bietet somit oft ebenfalls eine große Korrekturfähigkeit.
  

• Es gibt effiziente Faltungsdecoder, zum Beispiel den Viterbi–Algorithmus und den BCJR–Algorithmus, die Zuverlässigkeitsinformationen über den Kanal   ⇒   Soft–Decision–Input  verarbeiten können und Zuverlässigkeitsinformation über das Decodierergebnis   ⇒   Soft–Decision–Output  liefern.
  

Rate–1/2–Faltungscodierer

Faltungscoder $(k = 1, \hspace{0.05cm} n = 2)$ für ein Informationsbit $u_i$

Vorbemerkung:   Die beiden Begriffe Faltungscodierer und Faltungscoder werden in unserem Lerntutorial synonym verwendet und können beliebig ausgetauscht werden.

• Beide Begriffe bezeichnen die konkrete Umsetzung einer Informationssequenz $\underline{u}$ in eine Codesequenz $\underline{x}$.
  

Die Begriffe Faltungscodierer  und Faltungscode  sollte man allerdings nicht verwechseln.

• Unter einem Faltungscode ${\rm CC} \ (n, k, m)$   ⇒   $R = k/n$ versteht man die Menge aller möglichen Codesequenzen $\underline{x}$, die mit diesem Code unter Berücksichtigung aller möglichen Informationssequenzen $\underline{u}$ (am Eingang) generiert werden kann.
• Es gibt verschiedene Faltungscodierer, die den gleichen Faltungscode realisieren.
  

Faltungscoder $(k = 1, \hspace{0.05cm} n = 2)$ für die Informationssequenz $\underline{u}$

Die obere Grafik zeigt einen $(n = 2, \hspace{0.05cm} k = 1)$–Faltungscodierer.

• Zum Taktzeitpunkt $i$ liegt das Informationsbit $u_i$ am Codereingang an und es wird der 2–Bit–Codeblock $\underline{x}_i = (x_i^{(1)}, \ x_i^{(2)})$ ausgegeben.
• Unter Berücksichtigung der (halb–unendlich) langen Informationssequenz $\underline{u}$ ergibt sich das Modell entsprechend der zweiten Grafik.
  
• Um aus einem einzigen Informationsbit $u_i$ zwei Codebits $x_i^{(1)}$ und $x_i^{(2)}$ generieren zu können, muss der Faltungscodierer mindestens ein Speicherelement beinhalten:

$$k = 1\hspace{0.05cm}, n = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m \ge 1 \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Beispiel 2:}$  Nachfolgend ist ein Faltungscodierer für die Parameter $k = 1, \ n = 2$ und $m = 1$ dargestellt. Das gelb hinterlegte Quadrat kennzeichnet ein Speicherelement. Dessen Beschriftung $D$ ist von Delay abgeleitet.

Faltungscodierer mit $k = 1, \ n = 2, \ m = 1$ sowie Beispielsequenzen

• Es handelt sich hier um einen systematischen Faltungscodierer, gekennzeichnet durch $x_i^{(1)} = u_i$.
• Der zweite Ausgang liefert $x_i^{(2)} = u_i + u_{i-1}$.

• In der beispielhaften Ausgangssequenz $\underline{x}$ nach Multiplexing sind alle $x_i^{(1)}$ rot und alle $x_i^{(2)}$ blau beschriftet.

Faltungscoder $(k = 1, \ n = 2, \ m = 2)$ in zwei verschiedenen Darstellungen

$\text{Beispiel 3:}$  Die Grafik zeigt einen $(n = 2, \ k = 1)$–Faltungscodierers mit $m = 2$ Speicherelementen:

• Links ist das Ersatzschaltbild dargestellt.
• Rechts ist eine Realisierungsform dieses Coders angegeben.

• Die beiden Informationsbits lauten:

\[x_i^{(1)} = u_{i} + u_{i-1}+ u_{i-2} \hspace{0.05cm},\]

\[x_i^{(2)} = u_{i} + u_{i-2} \hspace{0.05cm}.\]

• Wegen $x_i^{(1)} ≠ u_i$ handelt es sich hier nicht um einen systematischen Code.

Man erkennt:

• Die Informationssequenz $\underline{u}$ wird in einem Schieberegister der Länge $L = m + 1 = 3$ abgelegt.
  

• Zum Taktzeitpunkt $i$ beinhaltet das linke Speicherelement das aktuelle Informationsbit $u_i$, das zu den nächsten Taktzeitpunkten jeweils um eine Stelle nach rechts verschoben wird.
  

• Aus der Anzahl der gelben Quadrate ergibt sich wieder das Gedächtnis $m = 2$ des Coders.
  
  

Aus den beiden Darstellungen wird deutlich, dass $x_i^{(1)}$ und $x_i^{(2)}$ jeweils als der Ausgang eines Digitalen Filters über dem Galoisfeld ${\rm GF(2)}$ interpretiert werden kann, wobei beide Filter parallel mit der gleichen Eingangsfolge $\underline{u}$  arbeiten.

Da sich (ganz allgemein) das Ausgangssignal eines Filters aus der Faltung des Eingangssignals mit der Filterimpulsantwort ergibt, spricht man von Faltungscodierung.

Faltungscodierer mit zwei Eingängen

Faltungscodierer mit $k = 2$ und $n = 3$

Nun betrachten wir einen Faltungscodierer, der aus $k = 2$ Informationsbits $n = 3$ Codebits generiert.

• Die Informationssequenz $\underline{u}$ wird in Blöcke zu je zwei Bit aufgeteilt.
• Zum Taktzeitpunkt $i$ liegt am oberen Eingang das Bit $u_i^{(1)}$ an und am unteren Eingang $u_i^{(2)}$.
• Für die $n = 3$ Codebits zum Zeitpunkt $i$ gilt dann:

\[x_i^{(1)} = u_{i}^{(1)} + u_{i-1}^{(1)}+ u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},\]

\[x_i^{(2)} = u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(1)} \hspace{0.05cm},\]

\[x_i^{(3)} = u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)}+ u_{i-1}^{(1)} \hspace{0.05cm}.\]

In der Grafik sind die Info–Bits $u_i^{(1)}$ und $u_i^{(2)}$ rot bzw. blau gekennzeichnet, und die vorherigen Info–Bits $u_{i-1}^{(1)}$ und $u_{i-1}^{(2)}$ grün bzw. braun.

Anzumerken ist:

• Das Gedächtnis  $m$ ist gleich der maximalen Speicherzellenzahl in einem Zweig   ⇒   hier $m = 1$.

• Die Einflusslänge  $\nu$ ist gleich der Summe aller Speicherelemente   ⇒   hier $\nu = 2$.
  

• Alle Speicherelemente seien zu Beginn der Codierung (Initialisierung ) auf Null gesetzt.
  
  

Der hiermit definierte Code ist die Menge aller möglichen Codesequenzen $\underline{x}$, die sich bei Eingabe aller möglichen Informationssequenzen $\underline{u}$ ergeben. Sowohl $\underline{u}$ als auch $\underline{x}$ seien dabei (zeitlich) unbegrenzt.

$\text{Beispiel 4:}$  Die Informationssequenz sei  $\underline{u} = (0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, \ \text{ ...})$. Daraus ergeben sich die Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)} = (0, 1, 0, 1, \ \text{ ...})$  und  $\underline{u}^{(2)} = (1, 0, 0, 1, \ \text{ ...})$.

Mit der Festlegung $u_0^{(1)} = u_0^{(2)} = 0$ folgt aus den obigen Gleichungen für die $n = 3$ Codebits

• im ersten Codierschritt $(i = 1)$:

\[x_1^{(1)} = u_{1}^{(1)} = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x_1^{(2)} = u_{1}^{(2)} = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x_1^{(3)} = u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} = 0+1 = 1 \hspace{0.05cm},\]

• im zweiten Codierschritt $(i = 2)$:

\[x_2^{(1)} =u_{2}^{(1)} + u_{1}^{(1)}+ u_{1}^{(2)} = 1 + 0 + 1 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x_2^{(2)} = u_{2}^{(2)} + u_{1}^{(1)} = 0+0 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x_2^{(3)} = u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)}+ u_{1}^{(1)} = 1 + 0+0 =1\hspace{0.05cm},\]

• im dritten Codierschritt $(i = 3)$:

\[x_3^{(1)} =u_{3}^{(1)} + u_{2}^{(1)}+ u_{2}^{(2)} = 0+1+0 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x_3^{(2)} = u_{3}^{(2)} + u_{2}^{(1)} = 0+1=1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x_3^{(3)} =u_{3}^{(1)} + u_{3}^{(2)}+ u_{2}^{(1)} = 0+0+1 =1\hspace{0.05cm},\]

• und schließlich im vierten Codierschritt $(i = 4)$:

\[x_4^{(1)} = u_{4}^{(1)} + u_{3}^{(1)}+ u_{3}^{(2)} = 1+0+0 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x_4^{(2)} = u_{4}^{(2)} + u_{3}^{(1)} = 1+0=1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x_4^{(3)}= u_{4}^{(1)} + u_{4}^{(2)}+ u_{3}^{(1)} = 1+1+0 =0\hspace{0.05cm}.\]

Damit lautet die Codesequenz nach dem Multiplexer:     $\underline{x} = (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, \ \text{...})$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.1: Analyse eines Faltungscodierers

Aufgabe 3.1Z: Faltungscodes der Rate 1/2