Signal Representation/Special Cases of Pulses

1. Signal Representation
2. Aperiodische Signale - Impulse
3. Special Cases of Pulses

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Rechteckimpuls

Rechteckimpuls und zugehöriges Spektrum

Man spricht von einem Rechteckimpuls, wenn für die Zeitfunktion gilt:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}A \\ A /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.} \\ \end{array}$$

Hierbei bezeichnet $A$ die Impulsamplitude und $T$ die Impulsdauer.

Die dazugehörige Spektralfunktion $X(f)$ erhält man durch Anwendung des ersten Fourierintegrals:

$$X(f) = \int_{ - T/2}^{+T/2} {A \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}2\pi ft}\, {\rm d}t = A }\cdot \int_{ - T/2}^{+T/2} {\cos ( {2\pi}ft )\,{\rm d}t - {\rm j} \cdot A} \int_{ - T/2}^{+T/2} {\sin ( {2\pi ft} )}\,{\rm d}t .$$

• Hierbei berücksichtigen die Integrationsgrenzen $\pm T/2$, dass $x(t)$ ausserhalb des Intervalls von $-T/2$ bis $+T/2$ identisch Null ist.
• Das zweite Integral verschwindet aufgrund des ungeraden Integranden und man erhält:

$$X(f) = \frac{A \cdot \sin \left( {\pi fT} \right)}{\pi f}.$$

$\text{Definition:}$  Zur Abkürzung definieren wir nachfolgende Funktion und bezeichnen diese als si-Funktion oder auch als Spaltfunktion:

$${\rm si}\hspace{-0.08cm}\left( x \right) = \sin \left( x \right)/x.$$

Durch eine Erweiterung von Zähler und Nenner jeweils mit $T$ kann man für die Spektralfunktion des Rechteckimpulses auch schreiben:

$$X( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}\hspace{-0.08cm}\left( {\pi fT} \right).$$

Wie die Grafik zeigt, besitzt $X(f)$ folgende Eigenschaften:

• Das Maximum liegt bei der Frequenz $f=0$ und hat den Wert $A \cdot T$ (Fläche des Rechtecks).
• Bei den Frequenzen $f_n = n/T$ mit $n = ±1, ±2, ±3,\text{ ...} $ besitzt das Spektrum Nullstellen:

$$X( {f = f_n } ) = 0.$$

• Für das Betragsspektrum gilt folgende Schranke:

$$\left| {X( f )} \right| \le \frac{A}{\pi \cdot \left| f \right|}.$$

Gaußimpuls

Ein weiteres Beispiel eines aperiodischen Signals ist der Gaußimpuls mit dem Zeitverlauf

$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {t/\Delta t} \right)^2 } .$$

Dieser Impuls wird durch zwei Parameter beschrieben, nämlich durch

• die Impulsamplitude $A$, und
• die äquivalente Impulsdauer $\Delta t$.

$\text{Definition:}$  Als äquivalente Impulsdauer bezeichnet man allgemein die Dauer eines Rechteckimpulses mit gleicher Amplitude und Fläche wie das gegebene impulsförmige Signal $x(t)$:

$$\Delta t = \frac{1}{A }\cdot \hspace{-0.15cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )\, {\rm d}t.}$$

Der Gaußimpuls $x(t)$ weist folgende Eigenschaften auf (siehe Grafik im $\text{Beispiel 1}$):

• Die Zeitfunktion ist für alle Zeiten von $-\infty$ bis $+\infty$ existent und positiv.
• Das bedeutet gleichzeitig: Die absolute Impulsdauer ist unendlich groß.
• Das Impulsmaximum $A$ liegt bei $t = 0$.
• Bei $t = \pm \Delta t/2$ ist der Impuls auf $\text{e}^{-\pi/4} \approx 0.456$ des Maximums abgeklungen, und bei $t = \pm \Delta t$ ist der Signalwert kleiner als $3.5 \cdot 10^{-6} \cdot A$.
• Die Spektralfunktion $X(f)$ ist ebenfalls gaußförmig und hat sinngemäß gleiche Eigenschaften wie der gaußförmige Impuls $x(t)$:

$$X(f) = A \cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {f \cdot \Delta t} \right)^2 }.$$

Auf der Seite Reziprozitätsgesetz wird auf die Analogien von Zeitbereich und Frequenzbereich des Gaußimpulses detailliert eingegangen.

Das folgende Beispiel verdeutlicht die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen dem Gaußimpuls $x(t)$ und seinem Spektrum $X(f)$.

Gaußimpuls und zugehöriges Spektrum (Zahlenwertbeispiel)

$\text{Beispiel 1:}$  Der Ausgangsleistungsimpuls $x(t)$ eines Lasers für die digitale optische Übertragung kann im äquivalenten Tiefpassbereich mit guter Näherung als gaußförmig angenommen werden.

Die Signalparameter seien $A = 1 \,\text{mW}$ und $\Delta t =1 \,\text{ns}$.

Damit erhält man im Spektralbereich die vergleichbaren Kenngrößen:

• das Maximum $X_0 = X(f=0) = A \cdot \Delta t = 10^{-12} \,\text{W/Hz}$,
• die äquivalente Bandbreite $\Delta f = 1/\Delta t = 1 \,\text{GHz}$.

Theoretisch erstreckt sich das absolute Frequenzband bis ins Unendliche. Allerdings ist bei $f = 2 \cdot \Delta f = 2\,\text{GHz}$ die Spektralfunktion gegenüber ihrem Maximum schon um den Faktor $3.5 \cdot 10^{-6}$ abgeklungen.

Wir möchten Sie auf zwei interaktive Applets zu dieser Thematik aufmerksam machen, mit denen Sie sich die Zeit– und Frequenzbereichsdarstellungen von Gaußimpuls, Rechteckimpuls, Dreieckimpuls, Trapezimpuls und Cosinus–Rolloff–Impuls parametrisiert anzeigen lassen:

• Impulse und Spektren
• Frequenzgang und Impulsantwort

Ebenso ist die Darstellung der so genannten „dualen Korrespondenzen” möglich.

Diracimpuls

Im Kapitel Periodische Signale wurde die Diracfunktion bereits zur Beschreibung des Spektrums eines Gleichsignals oder einer harmonischen Schwingung verwendet.

In der Nachrichtentechnik ist es aber auch üblich und äußerst vorteilhaft, kurzfristige impulsartige Vorgänge mit Hilfe dieser mathematischen Funktion im Zeitbereich zu beschreiben und zu analysieren.

Diracimpuls und zugehöriges Spektrum

$\text{Definition:}$  Man bezeichnet als Diracimpuls den Zeitverlauf

$$x(t) = X_0 \cdot \delta (t),$$

der wie folgt charakterisiert werden kann (siehe Skizze):

• Der Diracimpuls ist unendlich schmal   ⇒   es gilt $x(t)$ = 0 für $t \neq 0$ und zum Zeitpunkt $t = 0$ ist der Diracimpuls unendlich hoch.
• Beschreibt $x(t)$ einen Spannungsverlauf, so hat das Impulsgewicht $X_0$ die Einheit „Vs” (also die Einheit „V/Hz” einer Spektralfunktion), da $\delta (t)$ selbst die Einheit „1/s” besitzt.
• Die Spektralfunktion des Diracimpulses beinhaltet alle Frequenzen $f$ gleichermaßen:   $X(f) = X_0 = \rm const.$

Die hier genannten Eigenschaften sind im folgenden Lernvideo Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion zusammenfassend dargestellt.

Zur Bedeutung des Diracimpulses

$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten ein Netzwerk mit Tiefpasscharakteristik und sehr niedriger Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 10\,\text{ kHz}$. Das Ausgangssignal $y(t)$ ändert sich (nahezu) nicht, wenn eines der skizzierten Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ oder $x_3(t)$ an den Eingang angelegt wird.

Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:

• Da bei $x_1(t)$ und $x_2(t)$ die äquivalenten Impulsdauern jeweils gleich sind $(\Delta t = 1\, µ\text{s})$ und diese sehr viel kleiner ist als $1/f_{\rm G} = 100 \, µ\text{s}$, hat die tatsächliche Impulsform (Rechteck oder Dreieck) keinen oder nur einen untergeordneten Einfluss auf das Ausgangssignal $y(t)$.
• Beide Eingangsimpulse – sowohl das Rechteck $x_1(t)$ als auch das Dreieck $x_2(t)$ – kann man durch den Diracimpuls $x_3(t)$ annähern.
• Das Impulsgewicht $X_0 = 6 · 10^{-6}\, \text{Vs}$ muss dabei gleich den Impulsflächen von $x_1(t)$ und $x_2(t)$ sein. Voraussetzung für diese Näherung ist allerdings eine hinreichend kleine Grenzfrequenz. Bei $f_{\rm G} = 10 \, \text{MHz}$   ⇒  $1/f_{\rm G} = 100 \, \text{ns}$ wäre diese Vereinfachung dagegen nicht erlaubt.
• Auch wenn der Diracimpuls gleich hoch wie die beiden anderen Impulse gezeichnet ist, so hat er zum Zeitpunkt $t = 0$ trotzdem einen unendlich großen Wert. Beim Diracimpuls ist immer die Impulsfläche („Impulsgewicht”) angegeben. Diese unterscheidet sich gegenüber den anderen Impulsamplituden bereits in der Einheit (zum Beispiel „Vs” anstelle von „V”).

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.3: Vom Signal zum Spektrum

Aufgabe 3.3Z: Rechteck- und Diracimpuls