[[File:P_ID768__Sig_Z_4_6.png|right|Eine mögliche Ortskurve bei Phasenmodulation]]
[[File:P_ID768__Sig_Z_4_6.png|right|frame|Eine mögliche Ortskurve bei Phasenmodulation]]
Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$. Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.
Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird.
*Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$.
*Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.
Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:
Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:
Line 24:
Line 27:
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Ortskurve_–_Darstellung_des_äquivalenten_Tiefpass-Signals_(Applet)|Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals]] überprüfen.
*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]] ⇒ Ortskurve überprüfen.
*Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
*Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und zu $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
*Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, besteht somit die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
*Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
*Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind.
*Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind.
*Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ ⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.
*Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: &bsp; $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ <br>⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.
Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).
Ersetzt man in dieser Gleichung die Cosinus– durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
\omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$
Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente TP-Signal wie folgt berechnen:
(3) Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
\phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:
$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$
Der maximale Phasenwert $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$.
Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = -\pi /2$ und $q_{\rm min} = -0.5$ bestätigt.
Ortskurve (Phasendiagramm) beim Rechtecksignal
(4) Richtig sind der zweite und der dritte Lösungsvorschlag:
Ist $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:
Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und zu $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind.
Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: &bsp; $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ ⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.
