Aufgaben:Exercise 1.1Z: Sum of Two Ternary Signals

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Summe $S$ zweier Ternärsignale
$X$ und $Y$

Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $-1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.

• Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
• Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $-1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
• Bei der Quelle ist $Y$ der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $-1$ bzw. $+1$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

• Lösen Sie die Teilaufgaben (3) und (4) nach der klassischen Definition.
• Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
• Der Inhalt dieses Abschnitts ist im Lernvideo Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit zusammengefasst:

Fragebogen

1 Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?

${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $

2 Wieviele unterschiedliche Signalwerte $(I)$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?

$ I \ = \ $

3 Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe (2) ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$?

$ {\rm Pr}(S = S_{\rm max} ) \ = \ $

4 Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz $D = X - Y$ betrachtet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.

	Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
	Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Wie ändern sie sich?

Musterlösung

Solution

(1)  Da die Wahrscheinlichkeiten von $ \pm 1$ gleich sind und ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$ gilt, erhält man:

$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 0.5}. $$

(2)  $S$ kann insgesamt $\underline {I =5}$ Werte annehmen, nämlich $0$, $\pm 1$ und $\pm 2$.

Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen

(3)  Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier (eigentlich) die „Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit” nicht anwenden.

Teilt man $Y$ jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen. Man erhält dann:

$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$

$${\rm Pr}(S = +1) = {\rm Pr}(S = -1) ={3}/{12} = {1}/{4},$$

$${\rm Pr}(S = +2) = {\rm Pr}(S = -2) ={1}/{12}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(S = S_{\rm max}) = {\rm Pr}(S = +2) =1/12 \;\underline {= 0.0833}.$$

(4)  Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.

Dies war zu erwarten, da ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$ vorgegeben ist   ⇒   Lösungsvorschlag 1.