Aufgaben:Exercise 1.4Z: Sum of Ternary Quantities: Difference between revisions
From LNTwww
m Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “ |
No edit summary |
||
| Line 2: | Line 2: | ||
{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit}} | {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit}} | ||
[[File:P_ID79__Sto_Z_1_4.png|right|Summe | [[File:P_ID79__Sto_Z_1_4.png|right|frame|Summe zweier Ternärgrößen $x$ und $y$]] | ||
Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen | Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen | ||
:$$x ∈ {–2, \ 0, +2},$$ | |||
:$$y ∈ {–1, \ 0, +1}.$$ | |||
Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet. | Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet. | ||
| Line 13: | Line 13: | ||
Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann: | Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann: | ||
:$$ s \in \{-3, -2, -1, \ 0, +1, +2, +3\}.$$ | |||
| Line 19: | Line 22: | ||
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]. | ||
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das | *Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]. | ||
| Line 28: | Line 31: | ||
{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positv ist: | {Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positv ist: | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Pr}(s>0) \ = $ { 0.4444 3% } | ${\rm Pr}(s>0) \ = \ $ { 0.4444 3% } | ||
{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl die Eingangsgröße $x$ als auch die Summe $s$ positiv sind: | {Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl die Eingangsgröße $x$ als auch die Summe $s$ positiv sind: | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Pr}[(x>0) \cap (s>0)] \ =$ { 0.3333 3% } | ${\rm Pr}[(x>0) \cap (s>0)] \ = \ $ { 0.3333 3% } | ||
{Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Eingangsgröße $x > 0$ ist, wenn $s > 0$ gilt: | {Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Eingangsgröße $x > 0$ ist, wenn $s > 0$ gilt: | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Pr}(x>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s>0)\ =$ { 0.75 3% } | ${\rm Pr}(x>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s>0)\ = \ $ { 0.75 3% } | ||
{Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positiv ist, wenn die Eingangsgröße $x >$ 0 ist: | {Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positiv ist, wenn die Eingangsgröße $x >$ 0 ist: | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Pr}(s>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x>0)\ =$ { 1 } | ${\rm Pr}(s>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x>0)\ = \ $ { 1 } | ||
</quiz> | </quiz> | ||
Revision as of 13:53, 1 August 2018
Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen
- $$x ∈ {–2, \ 0, +2},$$
- $$y ∈ {–1, \ 0, +1}.$$
Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet.
Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann:
- $$ s \in \{-3, -2, -1, \ 0, +1, +2, +3\}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
- Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
Fragebogen
Musterlösung
In der nebenstehenden Grafik sind
- die drei zum Ereignis $„x > 0“$ gehörenden Felder violett umrandet,
- die Felder für $„s > 0“$ gelb hinterlegt.
Alle gesuchten Wahrscheinlichkeiten können hier mit Hilfe der klassischen Definition ermittelt werden.
(1) Dieses Ereignis ist durch die gelb hinterlegten Felder gekennzeichnet:
- $$\rm Pr (\it s > \rm 0) = \rm 4/9 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.444}.$$
(2) Hier gilt folgender Sachverhalt:
- $$\rm Pr[(\it x > \rm 0) \cap (\it s>\rm 0) ] = \rm Pr(\it x > \rm 0) =\rm 3/9\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.333}. $$
(3) Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (1) und (2) folgt:
- $$\rm Pr[(\it x > \rm 0) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} (\it s > \rm 0)] = \frac{{\rm Pr} [(\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0)]}{{\rm Pr}(\it s > \rm 0)}= \frac{3/9}{4/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$
(4) Analog zur Teilaufgabe (3) gilt nun:
- $$\rm Pr(\it s > \rm 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it x > \rm 0)=\frac{Pr[(\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0)]}{Pr(\it x >\rm 0)}=\rm \frac{3/9}{3/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}.$$
