Aufgaben:Exercise 3.7Z: Error Performance

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Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der CCITT-Empfehlung G.821 unter dem Namen Error Performance spezifiziert sind.

Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:

• Diese besagt unter Anderem, dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens $99.8\%$ aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen müssen.
• Bei einer Bitrate von $\text{64 kbit/s}$ entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ übertragenen Symbolen) nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten dürfen:

$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen.

• Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.05cm}000$.
• In der Aufgabe 3.7 wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.
• Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe (4).

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße $f$ zu?

	Die Zufallsgröße $f$  ist binomialverteilt.
	$f$  kann durch eine Poissonverteilung angenähert werden.

2

Welcher Wert ergibt sich für den Mittelwert der Zufallsgröße $f$?

$m_f \ = \ $

3

Wie groß ist die Streuung? Verwenden Sie geeignete Näherungen.

$\sigma_f \ = \ $

4

Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten. Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung.

${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = \ $ $ \ \rm \%$

5

Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, max}$ höchstens sein, damit die Bedingung „64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle ” eingehalten werden kann? Es gilt ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.

$p_\text{B, max}\ = \ $ $ \ \rm \%$

Musterlösung

Solution

(1)  Beide Aussagen sind richtig:

• Bei der hier definierten Zufallsgröße $f$  handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße, nämlich der Summe über $N$ Binärwerte ($0$ oder $1$).
• Da das Produkt  $N \cdot p = 64$  und dadurch sehr viel größer als $1$ ist, kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate ${\it \lambda} = 64$ angenähert werden.

(2)  Der Mittelwert ergibt sich zu  $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$  unabhängig davon, ob man von der Binomial- oder der Poissonverteilung ausgeht.

(3)  Für die Streuung erhält man   $\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$ Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als $0.05\%$.

(4)  Bei einer Gaußschen Zufallsgröße $f$  mit Mittelwert  $m_f {= 64}$  ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(f \le 64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$.   Anmerkung:

• Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße wäre die Wahrscheinlichkeit exakt $0.5$.
• Da $f$  nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringfügig größer.

(5)  Mit  $\lambda = N \cdot p$  lautet die entsprechende Bedingung:

$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$

Der Maximalwert von $\lambda$  kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:

$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist somit:

$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} p_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$

Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.