Aufgaben:Exercise 3.6: Partitioning Inequality

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Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X$, $Q_X$

Die Kullback–Leibler–Distanz (kurz KLD) wird auch in der „Partitionierungsungleichung” (englisch: Partition Unequality) verwendet:

• Wir gehen von der Menge $X = \{ x_1, \hspace{0.05cm} x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} x_M \}$ und den Wahrscheinlichkeitsfunktionen

$$P_X(X) = P_X ( x_1, \hspace{0.05cm} x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} x_M )\hspace{0.05cm},$$

$$Q_X(X) =Q_X ( x_1, \hspace{0.05cm} x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} x_M ), $$

aus, die „in irgendeiner Form ähnlich” sein sollen.

• Die Menge $X$ unterteilen wir in die Partitionen $A_1, \text{...} , A_K$ , die zueinander disjunkt sind und ein vollständiges System ergeben:

$$X = \big \{ \hspace{0.05cm} x_1, \hspace{0.05cm} x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} x_M \hspace{0.05cm} \big \}.$$

• Die Wahrscheinlichkeitsfunktionen bezüglich der Partitionierungen $A_1, A_2, \text{...} , A_K$ bezeichnen wir im Folgenden mit

$$P_X^{\hspace{0.15cm}(A)} = \big [ P_X ( A_1 )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm},P_X ( A_K ) \big ],\hspace{0.05cm}\hspace{0.5cm}{\rm wobei}\hspace{0.15cm} P_X ( A_i ) = \sum_{ x \in A_i} P_X ( x )\hspace{0.05cm},$$

$$Q_X^{\hspace{0.15cm}(A)}= \big [ Q_X ( A_1 )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm},Q_X ( A_K ) \big ],\hspace{0.05cm}\hspace{0.40cm}{\rm wobei}\hspace{0.15cm} Q_X ( A_i ) = \sum_{ x \in A_i} Q_X ( x )\hspace{0.05cm}. $$

$\text{Bitte beachten Sie:}$  Die Partitionierungsungleichung liefert folgende Größenrelation hinsichtlich der Kullback–Leibler–Distanzen:

$$D(P_X^{\hspace{0.15cm}(A)} \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{\hspace{0.15cm}(A)})

\hspace{0.25cm}\le \hspace{0.25cm}D(P_X \hspace{0.05cm}\vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X) \hspace{0.05cm}.$$

In Teilaufgabe (1) soll die Kullback–Leibler–Distanz der beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $Q_X(X)$ für $X = \{0, 1, 2\}$  ⇒  $|X| = 3$ ermittelt werden. Anschließend soll die Menge $X$ mit $K = 2$ partitioniert werden entsprechend

• $A = \{A_1 , A_2\}$ mit $A_1 =\{0\}$ und $A_2 = \{ 1,2 \}$ ,
• $B = \{B_1 , B_2\}$ mit $B_1 =\{1\}$ und $B_2 = \{ 0,2 \}$,
• $C = \{C_1 , C_2\}$ mit $C_1 =\{2\}$ und $C_2 = \{ 0,1\}$,

Anschließend sollen die jeweiligen Kullback–Leibler–Distanzen angegeben werden:

• $D(P_X^{ (A) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (A) } )$,
• $D(P_X^{ (B) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (B) } )$,
• $D(P_X^{ (C) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (C) } )$.

In der Teilaufgabe (5) wird schließlich nach den Bedingungen gefragt, damit in der obigen Ungleichung das Gleichheitszeichen zutrifft.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Relative Entropie – Kullback-Leibler-Distanz.

• Die beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen können aus obiger Grafik wie folgt abgelesen werden:

$$P_X(X) = \big [1/4 , \ 1/2 , \ 1/4 \big ],\hspace{0.5cm} Q_X(X) = \big [1/8, \ 3/4, \ 1/8 \big].$$

Fragebogen

1 Berechnen Sie die Kullback–Leibler–Distanz (KLD) allgemein.

$ D(P_X \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X) \ = \ $ $\ \rm bit$

2 Welche Kullback–Leibler–Distanz ergibt sich für die Partitionierung $ A_1 = \{0\}, A_2 = \{1, 2\}$?

$D(P_X^ \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^ ) \ = \ $ $\ \rm bit$

3 Welche Kullback–Leibler–Distanz ergibt sich für die Partitionierung $ B_1 = \{1\}, B_2 = \{0, 2\}$?

$D(P_X^ \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^ ) \ = \ $ $\ \rm bit$

4 Welche Kullback–Leibler–Distanz ergibt sich für die Partitionierung $ C_1 = \{2\}, C_2 = \{0, 1\}$?

	Das gleiche Ergebnis wie für die Partitionierung $A$.
	Das gleiche Ergebnis wie für die Partitionierung $B$.
	Ein ganz anderes Ergebnis.

5 Unter welchen Bedingungen ergibt sich für allgemeines $K$ die Gleichheit?

	Es müssen $|X|$ Gleichungen erfüllt sein.
	Für $x \in A_i$ muss gelten:   $P_X(x)/Q_X(x) = P_X(A_i)/ Q_X(A_i)$

Musterlösung

Solution

(1)  Für die Kullback–Leibler–Distanz (KLD) gilt:

$$D(P_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}P_Y) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(X)}{P_Y(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{x \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}X}

P_X(x) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(x)}{P_Y(x)}$$

$$\Rightarrow D(P_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}P_Y) = \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/2}{3/4} +

2 \cdot \frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/4}{1/8} = \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) = 1- \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (3) \hspace{0.15cm} \underline {=0.2075\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Mit der Partitionierung A   ⇒   $A_1 = \{0\}$ , $A_2 = \{ 1 , 2 \}$ erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X^{ (A) } (X) = \{1/4 , 3/4\}$ und $Q_X^{ (A) } (X) = \{1/8 , 7/8\}$. Daraus folgt:

$$D(P_X^{\hspace{0.15cm}(A)} \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} Q_X^{\hspace{0.15cm}(A)}) = \frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/4}{1/8} +

\frac{3}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{3/4}{7/8} =\frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) + \frac{3}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{6}{7} \hspace{0.15cm} \underline {=0.0832\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Mit der Partitionierung B   ⇒   $B_1 = \{1\}$ , $B_2 = \{ 0 , 2 \}$ erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X^{ (B) } (X) = \{1/2 , 1/2\}$ und $Q_X^{ (B) } (X) = \{3/4 , 1/4\}$. Analog zur Teilaufgabe (2) erhält man so:

$$D(P_X^{\hspace{0.15cm}(B)} \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} Q_X^{\hspace{0.15cm}(B)}) = \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/2}{3/4} +

\frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/2}{1/4} \hspace{0.15cm} \underline {=0.2075\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$ Das Ergebnis stimmt mit dem der Teilaufgabe (1) überein   ⇒   Bei der Partitionierung B gilt das Gleichheitszeichen.

(4)  Mit der Partitionierung C   ⇒   $C_1 = \{2\}$ , $C_2 = \{ 0 , 1\}$ erhält man $P_X^{ (C) } (X) = \{1/4, 3/4\}$ , $Q_X^{ (C) } (X) = \{1/8, 7/8\}$, also die gleichen Funktionen wie bei der Partitionierung A   ⇒   Lösungsvorschlag 1.

(5)  Die Partitionierung C hat zum Ergebnis $D(P_X^{ (B) } \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}Q_X^{ (B) } ) = D(P_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}Q_X)$ geführt. Für diesen Fall ist also

$$\frac{P_X(1)}{Q_X(1)} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}, \ \frac{P_X(B_1)}{Q_X(B_1)} = \frac{1/2}{3/4} = {2}/{3},$$

$$\frac{P_X(0)}{Q_X(0)} = \frac{1/4}{1/8} = 2, \ \frac{P_X(B_2)}{Q_X(B_2)} = \frac{1/2}{1/4} = 2,$$

$$\frac{P_X(2)}{Q_X(2)} = \frac{1/4}{1/8} = 2, \ \frac{P_X(B_2)}{Q_X(B_2)} = \frac{1/2}{1/4} = 2.$$

Es muss also für alle $x \in X$ gelten :

$$\frac{P_X(x)}{Q_X(x)} = \frac{P_X(B_1)}{Q_X(B_1)}, \text{falls } x \in B_1, \hspace{0.5cm}\frac{P_X(x)}{Q_X(x)} = \frac{P_X(B_2)}{Q_X(B_2)}, \text{falls } x \in B_2.$$

Durch Verallgemeinerung erhält man, dass beide Lösungsvorschläge richtig sind.