Exercise 2.4Z: Characteristics Measurement

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Vorgegebene Kennlinie $y = g(x)$

Von einem nichtlinearen System ist bekannt, dass die Kennlinie wie folgt dargestellt werden kann:

$$y(t) = c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^2(t).$$

Da die Verzerrungen nichtlinear sind, ist kein Frequenzgang $H(f)$ angebbar.

Zur Bestimmung des dimensionslosen Koeffizienten $c_1$ sowie des quadratischen Koeffizienten $c_2$ werden nun verschiedene Rechteckimpulse $x(t)$ – gekennzeichnet durch die Amplitude $A_x$ und Breite $T_x$ – an den Eingang gelegt und jeweils die Impulsamplitude $A_y$ am Ausgang gemessen.

Die ersten drei Versuchen ergeben folgende Werte:

• $A_x = 1 \ {\rm V}, \; \; T_x = 8 \ {\rm ms}$ :     $A_y = 0.55 \ {\rm V}$,
• $A_x = 2 \ {\rm V}, \; \; T_x = 4 \ {\rm ms}$ :     $A_y = 1.20 \ {\rm V}$,
• $A_x = 3 \ {\rm V}, \; \; T_x = 2 \ {\rm ms}$ :     $A_y = 1.95 \ {\rm V}$.

Bei den Teilaufgaben (3) und (4) sei das Eingangssignal $x(t)$ eine harmonische Schwingung, da nur für eine solche ein Klirrfaktor angegeben werden kann.

Dagegen wird für die Teilaufgabe (5) ein Dreieckimpuls mit Amplitude $A_x = 3 \ {\rm V}$ und der einseitigen Impulsdauer $T_x = 2 \ {\rm ms}$ betrachtet:

$$x(t) = A_x \cdot ( 1 - {|t|}/{T_x}) $$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Nichtlineare Verzerrungen.

• Im Fragenkatalog werden folgende Abkürzungen benutzt:

$$y_1(t) = c_1 \cdot x(t), \hspace{0.5cm} y_2(t) = c_2 \cdot x^2(t).$$

Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für den Ausgangsimpuls $y(t)$, wenn am Eingang ein Rechteckimpuls $x(t)$ mit Amplitude $A_x$ und Dauer $T_x$ anliegt?

	Der Ausgangsimpuls $y(t)$ ist dreieckförmig.
	Die Amplituden am Eingang und Ausgang sind gleich   ⇒   $A_y = A_x$.
	Die Impulsdauer wird durch das System nicht verändert   ⇒   $T_y = T_x$.

2

Berechnen Sie die beiden ersten Koeffizienten der Taylorreihe.

$c_1 \ = \ $

$c_2 \ = \ $ $\ \rm 1/V$

3

Welcher Klirrfaktor $K$ wird mit dem Testsignal $x(t) = 1 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ gemessen? Das heißt:   $\underline{A_x = 1\hspace{0.08cm} \rm V}$.

$K \ = \ $ $\ \%$

4

Welcher Klirrfaktor $K$ wird mit dem Testsignal $x(t) = 3 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ gemessen? Das heißt:   $\underline{A_x = 3\hspace{0.08cm} \rm V}$.

$K \ = \ $ $\ \%$

5

Welcher Ausgangsimpuls $y(t)$ ergibt sich bei dreieckförmigem Eingangsimpuls? Wie lauten die Signalwerte bei $ t = 0$ und $ t = T_x/2$?

$y(t = 0) \ = \ $ $\ \rm V$

$y(t = T_x/2) \ = \ $ $\ \rm V$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 3:

• Ist der Eingangsimpuls  $x(t)$  rechteckförmig, so ist auch  $x^2(t)$  ein Rechteck mit Höhe  $A_x^2$  im Bereich von $0$ bis $T_x$; außerhalb $0$.
• Auch das gesamte Ausgangssignal  $y(t)$  ist somit rechteckförmig mit der Amplitude

$$A_y= c_1 \cdot A_x + c_2 \cdot A_x^2 .$$

• Für die Impulsdauer gilt:   $T_y = T_x$.

(2)  Mit den beiden ersten Parametersätzen kann folgendes lineares Gleichungssystem angegeben werden:

$$c_1 \cdot 1\,{\rm V} + c_2 \cdot (1\,{\rm V})^2 = 0.55\,{\rm V},$$

$$c_1 \cdot 2\,{\rm V} + c_2 \cdot (2\,{\rm V})^2 = 1.20\,{\rm V}.\hspace{0.05cm}$$

Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit $-2$ und Addition der beiden Gleichungen erhält man:

$$c_2 \cdot 2\,{\rm V}^2 = 0.1\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.05\,{1/\rm V}}.$$

Der Linearkoeffizient ist somit $c_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}.$

Der dritte Parametersatz kann genutzt werden, um das Ergebnis zu kontrollieren:

$$c_1 \cdot 3\,{\rm V} + c_2 \cdot (3\,{\rm V})^2 = 0.5 \cdot 3\,{\rm V}+ 0.05 \ {1}/{\rm V}\cdot 9\,{\rm V}^2 = 1.95\,{\rm V}.$$

(3)  Die Angabe eines Klirrfaktors bedingt die Verwendung einer harmonischen Schwingung am Eingang.

• Ist $X_+(f) = 1 \ {\rm V} \cdot \delta (f - f_0)$, so lautet das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang:

$$ Y_{+}(f)={c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f) + c_1\cdot A_x \cdot \delta(f- f_0)+ {c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f- 2 f_0). $$

• Die Diracfunktion bei $f = 0$ folgt aus der trigonometrischen Umformung $\cos^2(\alpha) = 1/2 + 1/2 \cdot \cos(\alpha).$

• Mit $A_1 = c_1 \cdot A_x = 0.5 \ {\rm V} $ und $A_2 = (c_2/2) \cdot A_x^2 = 0.025 \ {\rm V}^2 $ ergibt sich somit für den Klirrfaktor:

$$K= \frac{A_2}{A_1}= \frac{c_2/2 \cdot A_x}{c_1 }= \frac{0.025}{0.5} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \%}.$$

(4)  Entsprechend der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe ist $K$ proportional zu $A_x$. Deshalb erhält man nun $K \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \%}.$

(5)  Nun lautet das Ausgangssignal:

$$y(t)= c_1\cdot A_x \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right) +\hspace{0.1cm} {c_2}\cdot A_x^2 \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right)^2.$$

• Zum Zeitpunkt  $t = 0$  bzw.  $t = T_x/2$  treten folgende Werte auf:

$$y(t=0) = c_1\cdot A_x + {c_2}\cdot A_x^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.95\,{\rm V}},$$

$$y(t=T_x/2) = c_1\cdot A_x \cdot {1}/{2} + \hspace{0.1cm}{c_2}\cdot A_x^2 \cdot {1}/{4}= 0.75\,{\rm V}+ 0.1125\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8625\,{\rm V}}.$$