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Revision as of 17:51, 18 December 2018

Spektrum des analytischen Signals

Wir betrachten die Phasenmodulation der harmonischen Schwingung

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) \hspace{0.05cm},$$

die bei Voraussetzung einer normierten Trägeramplitude $(A_{\rm T} = 1)$ zu folgendem Sendesignal führt:

$$ s(t) = \cos \hspace{-0.1cm}\big[\omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t) \big]\hspace{0.05cm}.$$

Das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals $s_{\rm TP}(t)$ lautet allgemein:

$$S_{\rm TP}(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\phi_{\rm N}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} 90^\circ) }\cdot \hspace{0.05cm} \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}$$

Hierbei bezeichnet man $η = K_{\rm PM} · A_{\rm N}$ als den Modulationsindex.

In der Grafik ist das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ getrennt nach Real- und Imaginärteil dargestellt. Aus diesem sollen die Kenngrößen $f_{\rm T}$, $f_{\rm N}$, $ϕ_{\rm N}$ und $η$ ermittelt werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Phasenmodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation.

Zur Berechnung des Modulationsindex können Sie folgende Eigenschaft der Besselfunktion ausnutzen:

$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm J}_{2} (\eta)= {2}/{\eta} \cdot {\rm J}_{1} (\eta) - {\rm J}_{0} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$f_{\rm T} \ = \ $

$\ \rm kHz$

$f_{\rm N} \ = \ $

$\ \rm kHz$

$|S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)| \ = \ $

${\rm arc} \ S_{\rm TP}(f = 3\ \rm kHz) \ = \ $

$\ \rm Grad$

$|S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)| \ = \ $

${\rm arc} \ S_{\rm TP}(f = 6\ \rm kHz) \ = \ $

$\ \rm Grad$

$ϕ_{\rm N} \ = \ $

$\ \rm Grad$

$η \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Bezüglich $|S_+(f)|$ gibt es eine Symmetrie zur Trägerfrequenz $f_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline { = 40 \ \rm kHz}$. Der Abstand zwischen den Spektrallinien beträgt $f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ \rm kHz}$.

(2) Unter Berücksichtigung von $S_{\rm TP}(f = 3{\ \rm kHz}) = S_+(f = 43 \ \rm kHz)$ gilt:

$$|S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz})| = \sqrt{0.279^2 + 0.483^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.558}\hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{0.483}{0.279} = \arctan 1.732\hspace{0.15cm}\underline { = 60^\circ} \hspace{0.05cm}.$$

(3) In analoger Weise zur Teilaufgabe (2) erhält man für die Frequenz $f = 6 \ \rm kHz$:

$$|S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz})| = \sqrt{(-0.116)^2 + 0.201^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.232}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{-0.116}{0.201} = 180^\circ - \arctan 1.732 \hspace{0.15cm}\underline {= 120^\circ} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Die Phase lautet für $n = 1$ ⇒ $f = 3 \ \rm kHz$ entsprechend Teilaufgabe (2):

$$ \phi_{\rm N} + 90^\circ = 60^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} = -30^\circ\hspace{0.05cm}.$$

Die Überprüfung dieses Ergebnisses mit $n = 2$ ⇒ $f = 6 \ \rm kHz$ entsprechend Teilaufgabe (3) liefert den gleichen Wert:

$$ 2\cdot (\phi_{\rm N} + 90^\circ) = 120^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= -30^\circ}\hspace{0.05cm}.$$

(5) Die angegebene Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:

$$\eta = \frac{2 \cdot {\rm J}_{1}{(\eta)}}{{\rm J}_{0}(\eta) + {\rm J}_{2}(\eta)} \hspace{0.05cm}.$$

Mit ${\rm J}_0(η) = 0.512$, ${\rm J}_1(η) = 0.558$ und ${\rm J}_2(η) = 0.232$ erhält man somit:

$$ \eta = \frac{2 \cdot 0.558}{0.512 + 0.232}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$

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 Wir betrachten die Phasenmodulation der harmonischen Schwingung
 :$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) \hspace{0.05cm},$$
-die bei Voraussetzung einer normierten Trägeramplitude ($A_{\rm T} = 1$) zu folgendem Sendesignal führt:
+die bei Voraussetzung einer normierten Trägeramplitude &nbsp;$(A_{\rm T} = 1)$&nbsp; zu folgendem Sendesignal führt:
-:$$ s(t) = \cos \left(\omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t) \right)\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ s(t) = \cos \hspace{-0.1cm}\big[\omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t) \big]\hspace{0.05cm}.$$
-Das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals $s_{\rm TP}(t)$ lautet allgemein:
+Das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; lautet allgemein:
 :$$S_{\rm TP}(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\phi_{\rm N}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} 90^\circ) }\cdot \hspace{0.05cm} \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}$$
-Hierbei bezeichnet man $η = K_{\rm PM} · A_{\rm N}$ als den Modulationsindex.
+Hierbei bezeichnet man &nbsp;$η = K_{\rm PM} · A_{\rm N}$&nbsp; als den Modulationsindex.
+In der Grafik ist das Spektrum &nbsp;$S_+(f)$&nbsp; des analytischen Signals &nbsp;$s_+(t)$&nbsp; getrennt nach Real- und Imaginärteil dargestellt. Aus diesem sollen die Kenngrößen &nbsp;$f_{\rm T}$, &nbsp;$f_{\rm N}$, &nbsp;$ϕ_{\rm N}$&nbsp; und &nbsp;$η$&nbsp; ermittelt werden.
-In der Grafik ist das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ getrennt nach Real- und Imaginärteil dargestellt. Aus diesem sollen die Kenngrößen $f_{\rm T}$, $f_{\rm N}$, $ϕ_{\rm N}$ und $η$ ermittelt werden.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
 *Zur Berechnung des Modulationsindex können Sie folgende Eigenschaft der Besselfunktion ausnutzen:
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind die Frequenzen $f_{\rm T}$ und $f_{\rm N}$?
+{Wie groß sind die Frequenzen &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm N}$?
 |type="{}"}
 $f_{\rm T} \ = \ $  { 40 3% } $\ \rm kHz$
 $f_{\rm N} \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm kHz$
-{Berechnen Sie den Betrag und die Phase von $S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)$.
+{Berechnen Sie den Betrag und die Phase von &nbsp;$S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)$.
 |type="{}"}
 $|S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)| \ = \ $  { 0.558 3% }
 ${\rm arc} \ S_{\rm TP}(f = 3\ \rm  kHz) \ = \ $ { 60 3% } $\ \rm Grad$
-{Berechnen Sie den Betrag und die Phase von $S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)$.
+{Berechnen Sie den Betrag und die Phase von &nbsp;$S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)$.
 |type="{}"}
 $|S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)| \ = \ $ { 0.232 3% }
 ${\rm arc} \ S_{\rm TP}(f = 6\ \rm  kHz) \ = \ $ { 120 3% } $\ \rm Grad$
-{Wie groß ist die Phase des Quellensignals $q(t)$?
+{Wie groß ist die Phase des Quellensignals &nbsp;$q(t)$?
 |type="{}"}
 $ϕ_{\rm N} \ = \ $ { -30.9--29.1 } $\ \rm Grad$
-{Wie groß ist der Modulationsindex $η$?
+{Wie groß ist der Modulationsindex &nbsp;$η$?
 |type="{}"}
 $η \ = \ $ { 1.5 3% }