Aufgaben:Exercise 4.2: Low-Pass for Signal Reconstruction

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Kontinuierliche und diskrete Spektren (Beispiele)

Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale $q_{\rm kon}(t)$ und $q_{\rm dis}(t)$, deren Betragsspektren $|Q_{\rm kon}(f)|$ und $|Q_{\rm dis}(f)|$ grafisch dargestellt sind. Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils $4 \ \rm kHz$.

• Von der Spektralfunktion $Q_{\rm kon}(f)$ ist nicht mehr bekannt, als dass es sich um ein kontinuierliches Spektrum handelt, wobei gilt:

$$Q_{\rm kon}(|f| \le 4\,{\rm kHz}) \ne 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Das Spektrum $Q_{\rm dis}(f)$ beinhaltet Spektrallinien bei $±1 \ \rm kHz$, $±2 \ \rm kHz$, $±3 \ \rm kHz$ und $±4 \ \rm kHz$. Somit gilt:

$$q_{\rm dis}(t) = \sum_{i=1}^{4}C_i \cdot \cos (2 \pi \cdot f_i \cdot t - \varphi_i),$$

Amplitudenwerte:   $C_1 = 1.0 \ \rm V$, $C_2 = 1.8 \ \rm V$, $C_3 = 0.8 \ \rm V$, $C_4 = 0.4 \ \rm V.$

Die Phasenwerte $φ_1$, $φ_2$ und $φ_3$ liegen jeweils im Bereich $±18^\circ$ und es gilt $φ_4 = 90^\circ$.

Die Signale werden jeweils mit der Frequenz $f_{\rm A}$ abgetastet und sofort einem idealen, rechteckförmigen Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ zugeführt. Dieses Szenario gilt zum Beispiel für

• die störungsfreie Pulsamplitudenmodulation (PAM) und
• die störungsfreie Pulscodemodulation (PCM) bei unendlich großer Quantisierungsstufenzahl $M$.

Das Ausgangssignal des (rechteckförmigen) Tiefpasses wird als Sinkensignal $v(t)$ bezeichnet, und für das Fehlersignal gilt $ε(t) = v(t) - q(t)$. Dieses ist nur dann von Null verschieden, wenn die Parameter der Abtastung $($Abtastfrequenz $f_{\rm A})$ und/oder der Signalrekonstruktion $($Grenzfrequenz $f_{\rm G})$ nicht bestmöglich dimensioniert sind.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Pulscodemodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Abtastung und Signalrekonstruktion.

Fragebogen

1

Welche Aussagen treffen für  $f_{\rm A} = 8\ \rm kHz$  und  $f_{\rm G} = 4\ \rm kHz$  zu?

	Das Signal  $q_{\rm kon}(t)$  lässt sich vollständig rekonstruieren:   $ε_{\rm kon}(t) = 0$.
	Das Signal  $q_{\rm dis}(t)$  lässt sich vollständig rekonstruieren:   $ε_{\rm dis}(t) = 0$.

2

Welche Aussagen treffen für  $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$  und  $f_{\rm G} = 5\ \rm kHz$  zu?

	Das Signal  $q_{\rm dis}(t)$  lässt sich vollständig rekonstruieren:   $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
	$ε_{\rm dis}(t)$  ist eine harmonische Schwingung mit  $4 \ \rm kHz$.
	$ε_{\rm dis}(t)$  ist eine harmonische Schwingung mit  $6 \ \rm kHz$.

3

Welche Aussagen treffen für  $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$  und  $f_{\rm G} = 3.5\ \rm kHz$  zu?

	Das Signal  $q_{\rm dis}(t)$  lässt sich vollständig rekonstruieren:   $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
	$ε_{\rm dis}(t)$  ist eine harmonische Schwingung mit  $4 \ \rm kHz$.
	$ε_{\rm dis}(t)$  ist eine harmonische Schwingung mit  $6 \ \rm kHz$.

4

Welche Aussagen treffen für  $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$  und  $f_{\rm G} = 6.5\ \rm kHz$ zu?

	Das Signal  $q_{\rm dis}(t)$  lässt sich vollständig rekonstruieren:   $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
	$ε_{\rm dis}(t)$  ist eine harmonische Schwingung mit  $4 \ \rm kHz$.
	$ε_{\rm dis}(t)$  ist eine harmonische Schwingung mit  $6 \ \rm kHz$.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist nur die erste Aussage:

• Die Abtastung von $q_{\rm dis}(t)$ mit der Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$ führt zu einem irreversiblen Fehler, da $Q_{\rm dis}(f)$ einen diskreten Spektralanteil (Diraclinie) bei $f_4 = 4\ \rm kHz$ beinhaltet und der Phasenwert $φ_4 ≠ 0$ ist.
• Mit dem hier angegebenen Phasenwert $φ_4 = 90^\circ$ (4 kHz– Sinuskomponente) gilt $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t) = -0.4 \ \rm V · \sin(2π · f_4 · t)$. Siehe auch Musterlösung zur Aufgabe 4.2Z.
• Dagegen kann das Signal $q_{\rm kon}(t)$ mit dem kontinuierlichen Spektrum $Q_{\rm kon}(f)$ auch dann mit einem Rechteck–Tiefpass (mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 4\ \rm kHz$) vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 8\ \rm kHz$ verwendet wurde. Für alle Frequenzen ungleich $f_4$ ist das Abtasttheorem erfüllt.
• Der Anteil der $f_4$–Komponente am gesamten Spektrum $Q_{\rm kon}(f)$ ist aber nur verschwindend klein   ⇒   ${\rm Pr}(f_4) → 0$, solange das Spektrum bei $f_4$ keine Diraclinie aufweist.

(2)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1:

• Mit $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$ wird das Abtasttheorem in beiden Fällen erfüllt.
• Mit $f_{\rm G} = f_{\rm A} /2$ sind beide Fehlersignale $ε_{\rm kon}(t)$ und $ε_{\rm dis}(t)$ identisch Null.
• Die Signalrekonstruktion funktioniert darüber hinaus auch dann, solange $f_{\rm G} > 4 \ \rm kHz$ und $f_{\rm G} < 6 \ \rm kHz$ gilt.

(3)  Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 2:

• Mit $f_{\rm G} = 3.5 \ \rm kHz$ entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den $4 kHz$–Anteil, das heißt dann gilt:

$$v_{\rm dis}(t) = q_{\rm dis}(t) - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm dis}(t) = - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

Signalrekonstruktion mit zu großer Grenzfrequenz

(4)  Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 3:

• Durch die Abtastung mit $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$ ergibt sich das rechts skizzierte periodische Spektrum:
• Der Tiefpass entfernt alle diskreten Frequenzanteile mit $|f| ≥ 7\ \rm kHz$, nicht aber den $6\ \rm kHz$–Anteil.

Das Fehlersignal $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) – q_{\rm dis}(t)$ ist dann eine harmonische Schwingung mit

• der Frequenz $f_6 = f_{\rm A} – f_4 = 6\ \rm kHz$,
• der Amplitude $A_4$ des $f_4$–Anteils,
• der Phase $φ_{-4} = -φ_4$ des $Q(f)$–Anteils bei $f = -f_4$.