Aufgaben:Exercise 4.5: Non-Linear Quantization

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PCM-System mit Kompandierung

Zur Untersuchung der nichtlinearen Quantisierung gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus.

• Den Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung lassen wir außer Acht.
• Somit gilt stets  $v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, wobei im Weiteren auf die Zeitangabe  $ν · T_{\rm A}$  verzichtet wird.

Durch den Vergleich von jeweils einer Ausgangsgröße mit einer Eingangsgröße kann man den Einfluss

• des Kompressors   ⇒    $q_{\rm K}(q_{\rm A})$,
• des linearen Quantisierers   ⇒    $q_{\rm Q}(q_{\rm K})$,
• des nichtlinearen Quantisierers   ⇒    $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,
• des Expanders   ⇒    $v_{\rm E}(v_{\rm Q})$ sowie
• des Gesamtsystems   ⇒    $v_{\rm E}(q_{\rm A})$

analysieren. Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

• Alle Abtastwerte  $q_{\rm A}$  liegen im Wertebereich  $±1$  vor.
• Der (lineare) Quantisierer arbeitet mit  $M = 256$  Quantisierungsstufen, die mit  $μ = 0$  bis  $μ = 255$  gekennzeichnet werden.
• Zur Kompression wird die sogenannte 13–Segment–Kennlinie verwendet.

Das bedeutet:

• Im Bereich  $|q_{\rm A}| ≤ 1/64$  gilt  $q_{\rm K} = q_{\rm A}$.
• Für  $q_{\rm A} > 1/64$  ergeben sich mit  $k = 1$, ... , $6$  folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie:

$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}\hspace{0.9cm} {\rm im\,\,Bereich}\hspace{0.9cm}2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6} \hspace{0.05cm}.$$

• Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen  $q_{\rm A}$–Werte mit  $k = -1$, ... , $-6$, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen. Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Pulscodemodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Kompression und Expandierung.

Fragebogen

1

Es gelte  $q_{\rm A} = 0.4$. Welchen Ausgangswert  $q_{\rm K}$  liefert der Kompressor?

$q_{\rm K} \ = \ $

2

Zu welchem Quantisierungsintervall  $μ$  gehört  $q_{\rm A} = 0.4$?

$\mu \ = \ $

3

Welcher Quantisierungswert  $q_{\rm Q}$  gehört zu  $q_{\rm A} = 0.4$?

$q_{\rm Q} \ = \ $

4

Welcher Quantisierungswert  $q_{\rm Q}$  gehört dagegen zu  $q_{\rm A} = 0.04$?

$q_{\rm Q} \ = \ $

5

Beim Empfänger liegt der Eingangswert  $v_{\rm Q} = 211/256 ≈ 0.824$  an.
Welchen Wert  $v_{\rm E}$  liefert der Expander?

$v_{\rm E} \ = \ $

6

Welche Eigenschaften weist die Kennlinie  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$  auf?

	Die Kennlinie  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$  approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.
	Die Kennlinie  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$  approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.
	Die Stufenbreite ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$  gleich groß.
	Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$  gleich groß.

7

Welche Eigenschaften weist die Kennlinie  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$  auf?

	Die Kennlinie  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$  approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.
	Die Kennlinie  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$  approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.
	Die Stufenbreite ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$  gleich groß.
	Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$  gleich groß.

Musterlösung

Solution

(1)  Der Abtastwert $q_{\rm A} = 0.4$ gehört zum Segment $k = 5$, das den Bereich $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$ abdeckt. Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit $k = 5$:

$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft:

$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Entsprechend der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall $μ = 128 + m$ durch den Wert $q_{\rm Q} = 1/256 + m/128$ repräsentiert. Mit $m = 105$ folgt daraus:

$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe (3) gilt mit dem Eingangswert $q_{\rm A} = 0.04$:

$$\frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$

Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)

(5)  Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten:

• Beim Kompressor hat $q_{\rm A} = 0.4$ zum Ausgangswert $q_{\rm K} = 0.825$ geführt und nach der Quantisierung zum Wert $q_{\rm Q} = 0.824$ – siehe Teilaufgaben (1) und (3). Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik.
• Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus $v_{\rm Q} = 0.824$ näherungsweise wieder der Wert $υ_{\rm E} ≈ 0.4$ ergibt  ⇒   braune Markierungen in der Grafik.

Aufgrund der Quantisierung ist dies jedoch nur eine Näherung. Exakt gilt:

$$v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$

Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar. Obwohl die Expanderkennlinie $υ_E(υ_{\rm Q})$ gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie $q_K(q_{\rm A})$ ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $υ_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist (Einfluss der Quantisierung).

(6)  Richtig sind die Aussagen 1 und 4, wie anhand der folgenden linken Grafik nachgeprüft werden kann:

13–Segment–Kennlinien: links: $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,             rechts: $v_{\rm E}(q_{\rm A})$

• Die Breite der einzelnen Stufen ist in jedem Segment unterschiedlich.
• Im äußersten Segment ($k = 6$) beträgt die Stufenbreite $0.5/16 = 1/32$, im nächsten Segment ($k = 5$) nur mehr $0.25/16 = 1/64$.
• Die Stufenbreiten in den weiteren Segmenten sind $1/128 \ (k = 4)$, $1/256 \ (k = 3)$, $1/512\ (k = 2)$ und $1/1024 \ (k = 1)$.
• Der innerste Bereich von $-1/64$ bis $+1/64$ wird in $64$ Stufen unterteilt, woraus sich die Stufenbreite $1/2048$ ergibt.
• Die Stufenhöhe ist dagegen in den Segmenten $k ≠ 0$ konstant gleich $1/8$ geteilt durch $16 = 1/128$ und im mittleren Segment gleich $1/256$.

(7)  Richtig ist hier nur die zweite Aussage:

• Durch den Expander verläuft die Quantisierung nun entlang der Winkelhalbierenden.
• In jedem Segment sind Stufenbreite und Stufenhöhe konstant.
• Wie die rechte Grafik zeigt, sind aber im nächstinneren Segment die Breite und die Höhe nur mehr halb so groß.