Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.16: Comparison between Binary PSK and Binary FSK"
m (Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “) |
|||
Line 3: | Line 3: | ||
}} | }} | ||
− | [[File:P_ID1746__Mod_A_4_15.png|right|frame|Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven | + | [[File:P_ID1746__Mod_A_4_15.png|right|frame|Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven <br>von binärer PSK und binärer FSK]] |
− | Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für | + | Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für die binäre [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#FSK_.E2.80.93_Frequency_Shift_Keying| FSK–Modulation]] bei |
− | *[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK|kohärenter Demodulation]] bzw. | + | *[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK|kohärenter Demodulation]] bzw. |
*[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeit_der_orthogonalen_FSK|inkohärenter Demodulation]] | *[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeit_der_orthogonalen_FSK|inkohärenter Demodulation]] | ||
− | |||
− | + | im Vergleich zur [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|binären Phasenmodulation]] (BPSK). | |
− | Diesem Systemvergleich liegt wieder der [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|AWGN–Kanal]] zugrunde, gekennzeichnet durch das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$. Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei | + | Es wird stets Orthogonalität vorausgesetzt. Bei kohärenter Demodulation kann hierbei der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 0.5$ sein, so dass die mittlere Kurve auch für ''Minimum Shift Keying'' (MSK) gültig ist. Dagegen muss bei nichtkohärenter Demodulation einer FSK der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 1$ sein. |
+ | |||
+ | Diesem Systemvergleich liegt wieder der [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|AWGN–Kanal]] zugrunde, gekennzeichnet durch das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$. Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei | ||
* ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK): | * ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK): | ||
:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$ | :$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$ | ||
Line 20: | Line 21: | ||
:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | In [[Aufgaben:4.8_Fehlerwahrscheinlichkeiten|Aufgabe 4.8]] wurde gezeigt, dass bei der BPSK das logarithmierte Verhältnis $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0$ mindestens $9.6 \ \rm dB$ betragen muss, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert $p_{\rm B} = 10^{–5}$ nicht | + | In [[Aufgaben:4.8_Fehlerwahrscheinlichkeiten|Aufgabe 4.8]] wurde gezeigt, dass bei der BPSK das logarithmierte Verhältnis $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0$ mindestens $9.6 \ \rm dB$ betragen muss, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert $p_{\rm B} = 10^{–5}$ nicht übersteigt. |
+ | |||
+ | |||
+ | |||
''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]]. |
− | *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]]. | + | *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]]. |
− | *Verwenden Sie die Näherung $\lg(2) ≈ 0.3$. | + | *Verwenden Sie die Näherung $\lg(2) ≈ 0.3$. |
Line 34: | Line 38: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Welches $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) ist bei MSK und kohärenter Demodulation erforderlich, damit $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu erfüllen ist? | + | {Welches $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) ist bei MSK und kohärenter Demodulation erforderlich, damit $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu erfüllen ist? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$ | $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$ | ||
− | {Sind die folgenden Aussagen richtig: Das gleiche Ergebnis erhält man bei | + | {Sind die folgenden Aussagen richtig: Das gleiche Ergebnis erhält man bei |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - einer FSK mit Modulationsindex $h = 0.7$, | + | - einer FSK mit Modulationsindex $h = 0.7$, |
− | + einer FSK mit Modulationsindex $h = 1$? | + | + einer FSK mit Modulationsindex $h = 1$? |
− | {Welches $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) ist bei FSK mit $h = 1$ und inkohärenter Demodulation erforderlich, damit $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu erfüllen ist? | + | {Welches $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) ist bei FSK mit $h = 1$ und inkohärenter Demodulation erforderlich, damit $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu erfüllen ist? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 13.4 3% } $\ \rm dB$ | $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 13.4 3% } $\ \rm dB$ | ||
− | {Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ergibt sich bei inkohärenter FSK–Demodulation für $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$? | + | {Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ergibt sich bei inkohärenter FSK–Demodulation für $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$p_{\rm B} \ = \ $ { 1.12 3% } $\ \cdot 10^{-4}$ | $p_{\rm B} \ = \ $ { 1.12 3% } $\ \cdot 10^{-4}$ |
Revision as of 19:04, 13 January 2019
Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für die binäre FSK–Modulation bei
im Vergleich zur binären Phasenmodulation (BPSK).
Es wird stets Orthogonalität vorausgesetzt. Bei kohärenter Demodulation kann hierbei der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 0.5$ sein, so dass die mittlere Kurve auch für Minimum Shift Keying (MSK) gültig ist. Dagegen muss bei nichtkohärenter Demodulation einer FSK der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 1$ sein.
Diesem Systemvergleich liegt wieder der AWGN–Kanal zugrunde, gekennzeichnet durch das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$. Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei
- Binary Phase Shift Keying (BPSK):
- $$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$
- Binary Frequency Shift Keying (BFSK) mit kohärenter Demodulation:
- $$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$
- Binary Frequency Shift Keying (BFSK) mit inkohärenter Demodulation:
- $$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$
In Aufgabe 4.8 wurde gezeigt, dass bei der BPSK das logarithmierte Verhältnis $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0$ mindestens $9.6 \ \rm dB$ betragen muss, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert $p_{\rm B} = 10^{–5}$ nicht übersteigt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtlineare digitale Modulation.
- Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Lineare digitale Modulation.
- Verwenden Sie die Näherung $\lg(2) ≈ 0.3$.
Fragebogen
Musterlösung
In anderen Worten: Die kohärente BFSK–Kurve liegt um $10 · \lg (2) ≈ 3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve. Um $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu garantieren, muss daher gelten:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 9.6\,\,{\rm dB} + 3\,\,{\rm dB} = \underline{12.6\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Die angegebene Gleichung gilt nicht nur für die MSK (diese ist eine FSK mit $h = 0.5$), sondern für jede Form von orthogonaler FSK.
- Eine solche liegt vor, wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.5$ ist, zum Beispiel für $h = 1$.
- Mit $h = 0.7$ ergibt sich keine orthogonale FSK. Es kann aber gezeigt werden, dass sich für $h = 0.7$ sogar eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit als bei orthogonaler FSK ergibt.
- Mit $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ erreicht man hier sogar $p_{\rm B} ≈ 10^{–6}$, also eine Verbesserung um eine Zehnerpotenz.
(3) Aus der Umkehrfunktion der angegebenen Gleichung erhält man:
- $$\frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 21.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\approx \underline{13.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Aus $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ folgt:
- $${E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 10^{1.26} \approx 16.8 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm} ({E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}})/2 \approx 8.4 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- 8.4} \approx \underline{1.12 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
Das heißt: Bei gleichem $E_{\rm B}/N_0$ wird die Fehlerwahrscheinlichkeit bei inkohärenter Demodulation gegenüber kohärenter Demodulation (siehe Teilaufgabe 1) um etwa den Faktor 11 vergrößert.