Digital Signal Transmission/Consideration of Channel Distortion and Equalization

1. Digital Signal Transmission
2. Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
3. Consideration of Channel Distortion and Equalization

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Idealer Kanalentzerrer

Bei einem Übertragungssystem, dessen Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  starke Verzerrungen hervorruft, gehen wir von folgendem Blockschaltbild (obere Grafik) und äquivalentem Ersatzschaltbild (untere Grafik) aus.

Block- und Ersatzschaltbild zur Berücksichtigung eines Kanalfrequenzgangs

Zu diesen Darstellungen ist Folgendes anzumerken:

• Das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  wird – zumindest gedanklich – aus einem  idealen Kanalentzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  und einem Tiefpass  $H_{\rm G}(f)$  zusammengesetzt. Für Letzteren verwenden wir in diesem Kapitel beispielhaft einen Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$.
  

• Verschiebt man nun den idealen Entzerrer – wiederum rein gedanklich – auf die linke Seite der Rauschadditionsstelle, so ändert sich bezüglich dem S/N–Verhältnis an der Sinke und bezüglich der Fehlerwahrscheinlichkeit nichts gegenüber dem oben gezeichneten Blockschaltbild.
  

• Aus dem unteren Ersatzschaltbild erkennt man, dass sich durch den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  auch bezüglich des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  – herrührend vom Sendesignal  $s(t)$  – nichts ändert, wenn man diesen mit  $1/H_{\rm K}(f)$  vollständig kompensiert. Das Nutzsignal hat somit die genau gleiche Form wie im Kapitel  Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen  berechnet.
  

• Die Degradation durch den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  zeigt sich vielmehr durch eine signifikante Erhöhung der Detektionsstörleistung, also der Varianz des Signals  $d_{\rm N}(t)$  – herrührend vom Störsignal  $n(t)$:

$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|H_{\rm K}(f)|^2}\cdot |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$

• Voraussetzung für eine endliche Störleistung  $\sigma_d^2$  ist, dass der Tiefpass  $H_{\rm G}(f)$  das Rauschen  $n(t)$  bei (sehr) hohen Frequenzen stärker abschwächt, als es vom idealen Entzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  angehoben wird.
  
  

Anmerkung:   Der Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  ist nach Betrag und Phase zu entzerren, allerdings nur in einem von  $H_{\rm G}(f)$  vorgegebenen eingeschränkten Frequenzbereich. Eine vollständige Phasenentzerrung ist aber nur auf Kosten einer (frequenzunabhängigen) Laufzeit möglich, die im Folgenden nicht weiter berücksichtigt wird.

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten wieder ein Binärsystem mit NRZ–Rechteckimpulsen und gaußförmigem Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$  mit der (normierten) Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt} \cdot T = 0.4$.

• Die mittlere Grafik zeigt für diesen Fall das Augendiagramm des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  – also ohne Berücksichtigung des Rauschens.
• Dieses ist identisch mit dem im Kapitel   Definition und Aussagen des Augendiagramms  im $\text{Beispiel 3}$ (rechte Grafik) dargestellten Augendiagramm.
  

Binäre Augendiagramme mit Impulsinterferenzen

Das linke Augendiagramm ergibt sich bei idealem Kanal, also für  $H_{\rm K}(f) = 1$   ⇒   $1/H_{\rm K}(f) = 1$. Es berücksichtigt das AWGN–Rauschen, das aber hier mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 30 \ \rm dB$  als sehr klein angenommen wurde. Für diese Konfiguration wurde per Simulation ermittelt:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 26.8\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}< 10^{-40}\hspace{0.05cm}.$$

Dagegen gilt das rechte Diagramm für ein   Koaxialkabel, wobei die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 40 \ \rm dB$  beträgt. Hierfür ergeben sich bei gleichem  $E_{\rm B}/N_0$  deutlich ungünstigere Systemgrößen:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx -4.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 0.28\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:

• Unter der Voraussetzung eines idealen Kanalentzerrers  $1/H_{\rm K}(f)$  ergibt sich auch beim verzerrenden Kanal das gleiche „Augendiagramm ohne Rauschen” (linke Grafik) wie beim idealen Kanal  $H_{\rm K}(f) = 1$  (mittlere Grafik).
  

• Durch die Kanalentzerrung  $1/H_{\rm K}(f)$  wird der Rauschanteil extrem verstärkt. Im rechten Beispiel ist wegen der starken Verzerrung eine ebenso starke Entzerrung über einen weiten Frequenzbereich erforderlich.
• Die Rauschleistung  $\sigma_d^2$  ist hier um den Faktor  $1300$  größer als bei der linken Konstellation (keine Verzerrung   ⇒   keine Entzerrung). Damit ergibt sich die Fehlerwahrscheinlichkeit zu  $p_{\rm S}\approx p_{\rm U}\approx 50 \%$.
  

• Eine akzeptable Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nur bei kleinerer Rauschleistungsdichte  $N_0$. Beispielsweise erhält man mit mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 50 \ \rm dB$  $($statt $30 \ \rm dB)$  das folgende Ergebnis:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = -4.6 +20 \approx 15.4\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 2 \cdot 10^{-9} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4 \approx 0.5 \cdot 10^{-9}\hspace{0.05cm}.$$

Erhöhung der Rauschleistung durch lineare Entzerrung

Die Augendiagramme auf der letzten Seite dokumentieren eindrucksvoll die Erhöhung der Rauschleistung  $\sigma_d^2$  bei unveränderter vertikaler Augenöffnung, wenn man den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  empfangsseitig durch dessen Inverse kompensiert. Dieses Ergebnis soll nun anhand der Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)$  nach dem Empfangsfilter (vor dem Entscheider) interpretiert werden, wobei folgende Einstellungen gelten:

• Der Kanal sei ein   Koaxialkabel  mit dem Betragsfrequenzgang

$$|H_{\rm K}(f)| = {\rm exp}\left [- a_{\star}\cdot \sqrt{2 f T}\hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} a_{\star} = 1.7\,\,{\rm Np}\hspace{0.2cm} ({\rm entsprechend} \hspace{0.2cm} 15\,\,{\rm dB}) \hspace{0.05cm}.$$

• Der  ideale Kanalentzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  kompensiert den Kanalfrequenzgang vollständig. Über die Realisierung der Dämpfungs– und Phasenentzerrung wird hier keine Aussage getroffen.
  

• Zur Rauschleistungsbegrenzung wird ein  Gaußtiefpass  eingesetzt:

$$|H_{\rm G}(f)| = {\rm exp}\left [- \pi \cdot \left (\frac{f }{2 f_{\rm G}}\right )^2 \right ]\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} f_{\rm G} = 0.8/T \hspace{0.2cm} {\rm bzw.} \hspace{0.2cm} f_{\rm G} = 0.4/T \hspace{0.05cm}.$$

Damit gilt für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider:

$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot \frac{|H_{\rm G }(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2} = \frac{N_0}{2} \cdot {\rm exp}\left [2 \cdot a_{\star}\cdot \sqrt{2 f T} - {\pi}/{2} \cdot \left ({f }/{f_{\rm G}}\right )^2 \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Rauschüberhöhung durch verzerrenden Kanal

Dieser Verlauf ist nebenstehend dargestellt für die beiden (normierten) Grenzfrequenzen

• $f_\text{G} \cdot T = 0.8$ (links) bzw.
• $f_\text{G} \cdot T = 0.4$ (rechts)

Beachten Sie, dass hier aus Darstellungsgründen die charakteristische Kabeldämpfung mit  $a_\star = 15 \ \rm dB$   $($entsprechend  $1.7 \ \rm Np)$  deutlich kleiner gewählt ist als beim rechten Augendiagramm   im $\text{Beispiel 1}$  auf der letzten Seite  $($gültig für  $a_\star = 40 \ \rm dB)$.
Betrachten wir zunächst die linke Grafik für die (normierte) Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$, die nach den Berechnungen im  letzten Kapitel  für den idealen Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) = 1$  das Optimum darstellt.

• Gelb hinterlegt ist die konstante Rauschleistungsdichte  $N_0/2$  am Empfängereingang. Bei idealem Kanal wird diese durch das gaußförmige Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$  begrenzt und ergibt die Detektionsrauschleistung  $\sigma_d^2$  (in der Grafik durch die blaue Fläche gekennzeichnet).
  

• Werden – wie bei leitungsgebundener Übertragung üblich – höhere Frequenzen stark gedämpft, so steigt  $|H_{\rm E}(f)| = |H_{\rm G}(f)|/|H_{\rm K}(f)|$  aufgrund des idealen Kanalentzerrers sehr stark an, bevor für  $f \cdot T \ge 0.6$  $($nur gültig für  $a_\star = 15 \ \rm dB$  und  $f_\text{G} \cdot T = 0.8)$  der dämpfende Einfluss des Gaußfilters wirksam wird.
  

• Die Rauschleistung  $\sigma_d^2$  ist nun gleich der Fläche unter der roten Kurve, die etwa um den Faktor  $28$  größer ist als die blaue Fläche. Die Auswirkungen dieser unterschiedlichen Rauschleistungen erkennt man auch in den Augendiagrammen auf der letzten Seite, allerdings für  $a_\star = 40 \ \rm dB$.
  
  

Die rechte Grafik zeigt die Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)$  für die normierte Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.4$. Hier wird die Rauschleistung durch den idealen Kanalentzerrer nur noch um den Faktor  $9$  vergrößert (Verhältnis zwischen der Fläche unter der roten Kurve und der blauen Fläche).

$\text{Fazit:}$  Aus obiger Grafik und den bisherigen Erläuterungen geht bereits hervor, dass bei verzerrendem Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) \ne 1$ die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$  des Gaußtiefpasses $H_{\rm G}(f)$ nach dem idealen Kanalentzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  nicht mehr optimal sein wird.

Optimierung der Grenzfrequenz

Die Grafik zeigt die Störabstände in Abhängigkeit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs  $H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$. Dieses Bild gilt für

• einen   koaxialen Übertragungskanal  mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star = 15 \ \rm dB$,
  
• AWGN–Rauschen mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$, wobei  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$  zu setzen ist   ⇒   NRZ–Rechteckimpulse.
  
  

Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal  $(a_\star = 15 \ \rm dB)$

Anmerkungen:

• Die Kreise zeigen die dB–Werte für  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_d$   ⇒   „mittleres” Detektions–SNR (Maß für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S})$.
• Die Quadrate zeigen die dB–Werte für  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U}$   ⇒   „ungünstigstes” SNR  $($Maß für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U})$.

Man erkennt aus dieser Darstellung und durch Vergleich mit der  entsprechenden Grafik  im letzten Kapitel, die für  $H_{\rm K}(f) = 1$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$  gegolten hat:

• Auch bei stark verzerrendem Kanal ist  $\rho_{\rm U}$  eine geeignete untere Schranke für  $\rho_d$   ⇒   $\rho_{d} \ge \rho_{\rm U}$. Entsprechend ist auch  $p_{\rm U} \ge p_{\rm S} $  eine sinnvolle obere Schranke für  $p_{\rm S}$.

• Bei der betrachteten Kabeldämpfung  $a_\star = 15 \ \rm dB$  ist die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T \approx 0.55$  optimal und es gilt  $\ddot{o}/s_0 \approx 1.327$  sowie  $\sigma_d/s_0 \approx 0.106$.
• Daraus ergeben sich der (ungünstigste) Störabstand  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 \ dB$  und die Worst–Case–Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2 \cdot 10^{-9}.$
  

• Eine kleinere Grenzfrequenz hätte eine deutlich kleinere Augenöffnung zur Folge, ohne dass dadurch auch  $\sigma_d$  gleichermaßen verkleinert würde. Für  $f_\text{G} \cdot T = 0.4$  gilt:

$$\ddot{o}/s_0 \approx 0.735,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.072\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 14.1\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.8 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$

• Ist die Grenzfrequenz  $f_\text{G}$  zu groß, so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt. Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T =0.8$:

$$\ddot{o}/s_0 \approx 1.819,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.178\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 14.2\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.7 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$

• Die optimalen Werte sind mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{d} \approx 16.2 \ \rm dB$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 dB$  deutlich ausgeprägter als bei idealem Kanal.

Bei einem Vergleich der Störabstände ist allerdings zu berücksichtigen, dass hier  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$  zugrunde liegt; in der  entsprechenden Grafik  für den idealen Kanal wurde dagegen von  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$  ausgegangen.

Optimale Grenzfrequenz in Abhängigkeit der Kabeldämpfung

Optimale Grenzfrequenz und Systemwirkungsgrad in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung. Insbesondere gilt:
$\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ dB;$   $\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 80 \ \rm dB) = -78.2 \ dB;$

Wir betrachten weiter

• ein Binärsystem mit NRZ–Sendeimpulsen   ⇒   $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,
  
• ein Koaxialkabel $H_{\rm K}(f)$, charakteristische Dämpfung  $a_\star$,
  
• einen Gauß–Gesamtfrequenzgang  $H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.

Die blauen Kreise (linke Achsenbeschriftung) markieren die optimale Grenzfrequenzen  $f_\text{G, opt}$  für die jeweilige Kabeldämpfung  $a_\star$.

Zusätzlich ist in der Grafik mit roten Quadraten der  Systemwirkungsgrad  (bei Spitzenwertbegrenzung)  $\eta$  dargestellt, der das Verhältnis des mit der betrachteten Konfiguration erreichbaren SNR  $\rho_{d}$  zum maximal möglichen S/N-Verhältnis  $\rho_{d, \ {\rm max}}$  angibt.

Ersetzt man  $\rho_d$  durch  $\rho_{\rm U}$, also  $p_{\rm S}$  durch  $p_{\rm U}$, so kann der Systemwirkungsgrad wie folgt dargestellt werden:

$$\eta = \eta_{\rm A}=\frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A}}}= \frac{\rho_d}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}.$$

Man erkennt aus der Anordnung der blauen Kreise:

• Die optimale Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt}$  hängt signifikant ab von der Stärke der Verzerrungen des Koaxialkabels, genauer gesagt:   ausschließlich von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  bei der halben Bitrate.
• Je größer die Kabeldämpfung  $a_\star$  und damit der Rauscheinfluss ist, um so niedriger ist die optimale Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt}$.
  
• Allerdings ist stets  $f_\text{G, opt} > 0.27/T$. Andernfalls wäre das Auge geschlossen, gleichbedeutend mit der „Worst–case”–Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = 0.5$.

Diskutieren wir nun die Abhängigkeit des Systemwirkungsgrads  $\eta$  (rote Quadrate) von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$. Die rechte Ordinate beginnt oben bei  $0 \ \rm dB$  und erstreckt sich nach unten bis  $-100 \ \rm dB$.

Wie nun an einigen Zahlenbeispielen verdeutlicht werden soll, vermeidet die Darstellung  $\eta = \eta\hspace{0.05cm}(a_\star)$  einige Probleme, die sich aus dem großen Wertebereich von S/N–Verhältnissen ergeben:

• Der Ordinatenwert  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ \rm dB$  sagt aus, dass der bei idealem Kanal bestmögliche Gaußtiefpass mit Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$  um  $1.4 \ \rm dB$  schlechter ist als der optimale (Matched–Filter–) Empfänger.
  

• Gehen wir von idealem Kanal  $(a_\star = 0 \ \rm dB)$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$  aus, so besagt die obige Gleichung auch, dass diese Konfiguration zu folgender (worst-case) Fehlerwahrscheinlichkeit führen wird:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2) + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(\eta) \approx \approx 10\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}1.4\, {\rm dB}= 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 7 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}.$$

• Soll diese (ungünstigste) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = 7 \cdot 10^{-5}$   ⇒   $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} = 11.6 \ \rm dB$  beim Kanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star = 80 \ \rm dB$  nicht überschritten werden, so muss demnach für das Verhältnis  $E_{\rm B}/N_0$  gelten:

\[10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} \ge 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}(-78.2)\,{\rm dB}= 86.8\,{\rm dB} \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}{E_{\rm B}}/{N_0}\approx 5 \cdot 10^{8}\hspace{0.05cm}.\]

• Um dies zu erreichen, muss allerdings die Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses entsprechend den blauen Kreisen in der Grafik auf  $f_{\rm G}= 0.33/T$  herabgesetzt werden.
  

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.3: Rauschen bei Kanalentzerrung

Aufgabe 3.3Z: Optimierung eines Koaxialkabelsystems