Aufgaben:Exercise 4.09: Decision Regions at Laplace

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Drei Entscheidungsregionen
für Laplace

Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$

gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu  $E = 1$  und erhalten somit

$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$

$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$

Die Nachrichten  $m_0$  und  $m_1$  sind den so festgelegten Signalen  $\boldsymbol{s}_0$  und  $\boldsymbol{s}_1$  eindeutig zugeordnet.

Die zwei Rauschkomponenten  $n_1(t)$  und  $n_2(t)$  seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter  $a = 1$:

$$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$

Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der  Aufgabe 4.9Z  noch eingehend behandelt.

Das Empfangssignal  $\boldsymbol{r}$  setzt sich additiv aus dem Sendesignal  $\boldsymbol{s}$  und dem  Rauschsignal  $\boldsymbol{n}$ zusammen:

$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2) \hspace{0.05cm},\hspace{0.45cm} \boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2) \hspace{0.05cm}. $$

Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:

$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm} (\rho_{1},\rho_{2}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm} (\eta_{1},\eta_{2}) \hspace{0.05cm}.$$

Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:

Entscheide für das Symbol  $m_0$, falls   $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$

Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür $($Entscheidung für  $m_0)$  auch geschrieben werden:

$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] > {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$

Auf diese Funktion  $L(\rho_1, \rho_2)$  wird im Fragebogen häufig Bezug genommen.

Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen  $(I_0, \ I_1)$.

• Bei AWGN–Rauschen wäre nur die obere Variante  $\rm A$  optimal.
• Auch beim betrachteten Laplace–Rauschen führt die Variante  $\rm A$  zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe  Aufgabe 4.9Z:

$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$

• Zu untersuchen ist, ob die Variante  $\rm B$  bzw. die Variante  $\rm C$  ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich  $p_{\rm min}$  sind.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.

Fragebogen

1

Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für $m_0$, falls

	$p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_1)$,
	$L(\rho_1, \ \rho_2) = |\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, –1| + |\rho_2+1| \, -|\rho_2 \, –1| < 0$,
	$L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 ≥ 0$.

2

Wie lässt sich der Ausdruck $|x+1| \ -|x \ -1|$ umformen?

	Für $x ≥ +1$ ist $|x + 1| \, -|x -1| = 2$.
	Für $x ≤ \, -1$ ist $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$.
	Für $-1 ≤ x ≤ +1$ ist $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$.

3

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$, $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$?

	Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
	Entscheidung für $m_1$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

4

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 > +1$?

	Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

5

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 < \, -1$?

	Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

6

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 > +1$?

	Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

7

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 < -1$?

	Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

8

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Die Variante A führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
	Die Variante B führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
	Die Variante C führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sinddie Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten:

$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$

$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$

• Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen  ⇒  ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP–Entscheidungsregel:
  Entscheide für das Symbol $m_0$  ⇔  Signal $s_0$, falls

$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ] > {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1|\hspace{0.05cm} \right ] $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|- | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Alle Aussagen treffen zu: Für $x ≥ 1$ ist

$$| x +1|- | x -1| = x +1 -x +1 =2 \hspace{0.05cm}.$$

Ebenso gilt für $x ≤ \, –1$, zum Beispiel $x = \, –3$:

$$| x +1|- | x -1| = | -3 +1|- | -3 -1| = 2-4 = -2 \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen gilt im mittleren Bereich $–1 ≤ x ≤ +1$:

$$| x+1|- | x -1| = x +1 -1 +x =2x \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

• Das Ergebnis von Teilaufgabe (1) lautete: Entscheide für das Symbol $m_0$, falls

$$L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1| - | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Im betrachteten (inneren) Bereich $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$, $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$ gilt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2):

$$| \rho_1+1| - | \rho_1 -1| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | \rho_2+1| - | \rho_2 -1| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$

• Setzt man dieses Ergebnis oben ein, so ist genau dann für $m_0$ zu entscheiden, falls

$$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 2:

• Für $\rho_1 > 1$ ist $|\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, -1| = 2$, während für $D_2 = |\rho_2+1| \,-|\rho_2 \, -1|$ alle Werte zwischen $-2$ und $+2$ möglich sind.
• Die Entscheidungsgröße ist somit $L(\rho_1, \rho_2) = 2 + D_2 ≥ 0$. In diesem Fall führt die Regel zu einer $m_1$–Entscheidung.

(5)  Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 1:

• Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (3) kommt man zum Ergebnis:

$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$

(6)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2: Entscheidung auf $m_1$.

• Ähnlich der Teilaufgabe (4) gilt hier:

$$D_1 = | \rho_1 +1| - | \rho_1 -1| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0 \hspace{0.05cm}.$$

(7)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1: Entscheidung auf $m_0$.

• Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis:

$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$

Zusammenfassung der Ergebnisse

(8)  Die Ergebnisse der Teilaufgaben (3) bis (7) sind in der Grafik zusammengefasst:

• Teilgebiet $T_0$:   Entscheidung auf $m_0$ bzw. $m_1$ gemäß Aufgabe (3).
• Teilgebiet $T_1$:   Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (4).
• Teilgebiet $T_2$:   Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (5).
• Teilgebiet $T_3$:   Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).
• Teilgebiet $T_4$:   Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).
• Teilgebiet $T_5$:   Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. Das bedeutet: Bei Laplace–Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
• Teilgebiet $T_6$:   Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.

Man erkennt:

• Für die Teilaufgabe $T_0$, ... $T_4$ gibt es eine feste Zuordnung zu den Entscheidungsregionen $I_0$ (rot) bzw. $I_1$ (blau).
• Dagegen können die beiden gelb markierten Bereiche $T_5$ und $T_6$ ohne Verlust an Optimalität sowohl $I_0$ als auch $I_1$ zugeordnet werden.

Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten A, B und C auf der Angabenseite, so erkennt man, dass die Vorschläge 1 und 2 richtig sind:

• Die Varianten A und B sind gleich gut. Beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm -2}$.
• Die Variante C ist nicht optimal; bezüglich der Teilaufgabe $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$.