Difference between revisions of "Applets:Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen (neues Applet)"
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| − | Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der '''Hadamard-Matrizen''' erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = | + | Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der '''Hadamard-Matrizen''' erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = [+1]$ und |
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*Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen $w_j(t)$. | *Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen $w_j(t)$. | ||
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*Die Matrix $\mathbf H_4$ ist gelb hinterlegt. | *Die Matrix $\mathbf H_4$ ist gelb hinterlegt. | ||
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Revision as of 11:25, 30 April 2019
Contents
Programmbeschreibung
Dieses Applet ermöglicht die Darstellung der Hadamard-Matrizen $\mathbf{H}_J$ zur Konstruktion der Walsh-Funktionen $w_j$. Dabei können der Faktor $J$ der Bandspreizung sowie die Markierung der einzelnen Walsh-Funktionen (durch blaue Umrandung der Zeilen der Matrix) verändert werden.
Theoretischer Hintergrund
Anwendung
Die Walsh-Funktionen sind eine Gruppe von periodischen orthogonalen Funktionen. Ihr Anwendungsbereich in der digitalen Signalverarbeitung liegt vor allem in der Verwendung zur Bandspreizung bei CDMA-Systemen, beispielsweise dem Mobilfunkstandard UMTS.
- Aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaften und der günstigen PKKF-Bedingungen (periodische KKF) stellen die Walsh-Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA-System optimale Spreizfolgen dar. Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null.
- Bei asynchronem Betrieb (Beispiel: Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe Aufgabe 5.4.
- Hinsichtlich PAKF (periodische AKF) sind diese Folgen weniger gut: Jede einzelne Walsh–Funktion hat eine andere PAKF und jede einzelne PAKF ist ungünstiger als bei einer vergleichbaren PN–Sequenz. Das bedeutet: Die Synchronisierung ist bei Walsh–Funktionen schwieriger als mit PN–Sequenzen.
Konstruktion
Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der Hadamard-Matrizen erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = [+1]$ und
\begin{equation}
\mathbf{H}_2 =
\left[ \begin{array}{rr}
+1 & +1\\
+1 & -1 \\
\end{array}\right]
\end{equation}
gilt der folgende Zusammenhang zur Generierung weiterer Hadamard-Matrizen:
\begin{equation}
\mathbf{H}_{2N} =
\left[ \begin{array}{rr}
+\mathbf{H}_N & +\mathbf{H}_N\\
+\mathbf{H}_N & -\mathbf{H}_N \\
\end{array}\right]
\end{equation}
Die Grafik zeigt die Hadamard–Matrix $\mathbf H_8$ (rechts) und die damit $J -1$ konstruierbaren Spreizfolgen.
- $J - 1$ deshalb, da die ungespreizte Folge $w_0(t)$ meist nicht verwendet wird.
- Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen $w_j(t)$.
- Die Matrix $\mathbf H_4$ ist gelb hinterlegt.
Material, das Sie eventuell noch verwenden könnten
Spreizfolgen mit sehr günstigen PKKF–Eigenschaften sind die so genannten Walsh–Funktionen, deren Konstruktion auf der Hadamard–Matrix basiert und durch Rekursion in einfacher Weise durchführbar ist. Ausgehend von der Matrix $\mathbf H_2$ können weitere Hadamard–Matrizen $\mathbf H_{2J}$ wie folgt generiert werden:
- $${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} {\mathbf{H}_{4}} = \left[ \begin{array}{cccc} +1 & +1 & +1 & +1 \\ +1 & -1 & +1 & -1 \\ +1 & +1 & -1 & -1 \\+1 & -1 & -1 & +1 \end{array} \right] .$$
Die $J$ Zeilen einer solchen Matrix beschreiben die $J$ möglichen Spreizfolgen (jeweils der Länge $J$), die mit $w_0(t)$ bis $w_{J–1}(t)$ durchnummeriert werden.
Die Grafik zeigt die Hadamard–Matrix $\mathbf H_8$ (rechts) und die damit $J -1$ konstruierbaren Spreizfolgen.
- $J - 1$ deshalb, da die ungespreizte Folge $w_0(t)$ meist nicht verwendet wird.
- Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen $w_j(t)$.
- Die Matrix $\mathbf H_4$ ist gelb hinterlegt.
Die Animation Zur Erzeugung von Walsh–Funktionen zeigt den Konstruktionsalgorithmus solcher Folgen. Weiter gilt:
- Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null. Somit sind Walsh–Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA–System aufgrund ihrer Orthogonalität optimale Spreizfolgen.
- Bei asynchronem Betrieb (Beispiel: Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe Aufgabe 5.4.
- Hinsichtlich PAKF (periodische AKF) sind diese Folgen weniger gut: Jede einzelne Walsh–Funktion hat eine andere PAKF und jede einzelne PAKF ist ungünstiger als bei einer vergleichbaren PN–Sequenz. Das bedeutet: Die Synchronisierung ist bei Walsh–Funktionen schwieriger als mit PN–Sequenzen.
Zur Handhabung des Applets
(A) Auswahl des Faktors zur Bandspreizung als Zweierpotenz von $G$
(B) Auswahl der jeweiligen Walsh-Funktion $w_j$
Über die Autoren
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
- Die erste Version wurde 2007 von Thomas Großer im Rahmen seiner Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
- 2018/2019 wurde das Programm von Marwen Ben Ammar und Xiaohan Liu (Bachelorarbeit, Betreuer: Tasnád Kernetzky ) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.
