Aufgaben:Exercise 2.09: Reed–Solomon Parameters

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Einige Reed–Solomon–Codes

Nebenstehend finden Sie eine unvollständige Liste möglicher Reed–Solomon–Codes, die bekanntlich auf einem Galoisfeld  ${\rm GF}(q) = {\rm GF}(2^m)$  basieren. Der Parameter  $m$  gibt an, mit wie vielen Bit ein RS–Codesymbol dargestellt wird. Es gilt:

• $m = 4$  (rote Schrift),
• $m = 5$  (blaue Schrift),
• $m = 6$  (grüne Schrift).

Ein Reed–Solomon–Code wird allgemein wie folgt bezeichnet:   ${\rm RSC}\ (n, \ k, \ d_{\rm min})_q$.

Die Parameter haben folgende Bedeutung:

• $n$  gibt die Anzahl der Symbole eines Codewortes  $\underline{c}$  an   ⇒   Länge des Codes,
• $k$  gibt die Anzahl der Symbole eines Informationsblocks  $\underline{u}$  an   ⇒   Dimension des Codes,
• $d_{\rm min}$  kennzeichnet die  minimale Distanz   zwischen zwei Codeworten
  $($bei allen Reed–Solomon–Codes gleich  $n-k+1)$,
• $q$  gibt einen Hinweis auf die Verwendung des Galoisfeldes  ${\rm GF}(q)$.

Rechts daneben ist die Binärrepräsentation des gleichen Codes angegeben:

• Bei dieser Realisierung eines RS–Codes wird jedes Informations– und Codesymbol durch  $m$  Bit dargestellt.
• Beispielsweise erkennt man aus der ersten Zeile, dass die minimale Distanz hinsichtlich der Bits ebenfalls  $d_{\rm min} = 5$  ist, wenn in  ${\rm GF}(2^m)$  die minimale Distanz  $d_{\rm min} = 5$  beträgt.
• Damit können bis zu  $t = 2$  Bitfehler (oder Symbolfehler) korrigiert und bis zu  $e = 4$  Bitfehler (oder Symbolfehler) erkannt werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes.
• Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  Erweiterungskörper.

Fragebogen

1

Es gelte  $c_i ∈ {\rm GF}(2^m)$. Welche RS–Codeparameter  $n$  ergeben sich?

$m = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} n \ = \ $

$m = 5 \text{:} \hspace{0.4cm} n \ = \ $

$m = 6 \text{:} \hspace{0.4cm} n \ = \ $

2

Im Folgenden werden zwei spezielle RS–Codes  ${\rm RSC} \ 1 \ (m = 4, \ t = 4)$  und  ${\rm RSC} \ 2 \ (m = 5, \ t = 8)$  betrachtet.
Mit welchem RS–Parameter  $k$  lassen sich genau  $t$  Symbolfehler korrigeren?

${\rm RSC} \ 1 \text{:} \hspace{0.4cm} k \ = \ $

${\rm RSC} \ 2 \text{:} \hspace{0.4cm} k \ = \ $

3

Welche Bezeichnungen sind für  $\rm RSC \ 1$  bzw.  $\rm RSC \ 2$  richtig?

	$\rm RSC \ 1$  nennt man auch  $\rm RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16}$.
	$\rm RSC \ 1$  nennt man auch  $\rm RSC \, (15, \, 7, \, 4)_4$.
	$\rm RSC \ 2$  nennt man auch  $\rm RSC \, (31, \, 17, \, 15)_{32}$.
	$\rm RSC \ 2$  nennt man auch  $\rm RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32}$.

4

Wieviele Symbolfehler  $(e)$  können höchstens erkannt werden?

${\rm RSC} \ 1 \text{:} \hspace{0.4cm} e \ = \ $

${\rm RSC} \ 2 \text{:} \hspace{0.4cm}e \ = \ $

5

Wie lauten die betrachteten Codes in Binärschreibweise?

	$\rm RSC \ 1$  entspricht dem Code  $\rm RSC \, (60, \, 28, \, 36)_2$.
	$\rm RSC \ 1$  entspricht dem Code  $\rm RSC \, (60, \, 28, \, 9)_2$.
	$\rm RSC \ 2$  entspricht dem Code  $\rm RSC \, (155, \, 75, \, 17)_2$.
	$\rm RSC \ 2$  entspricht dem Code  $\rm RSC \, (124, \, 60, \, 17)_2$.

Musterlösung

Solution

(1)  Für die Codelänge der Reed–Solomon–Codes gilt allgemein.

$$n = q -1 = 2^m -1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 4 {\rm :}\hspace{0.2cm} n \hspace{0.15cm}\underline {= 15} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}m = 5 {\rm :}\hspace{0.2cm} n \hspace{0.15cm}\underline {= 31} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} m = 6 {\rm :}\hspace{0.2cm} n \hspace{0.15cm}\underline {= 63} \hspace{0.05cm}. $$

(2)  Um $t$ Symbolfehler korrigieren zu können, muss die minimale Distanz $d_{\rm min} = 2t + 1$ betragen. Der Reed–Solomon–Code ist ein sogenannter MDS–Code (Maximum Distance Separable). Für diese gilt:

$$d_{\rm min} = n-k+1 = 2t+1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}k = n -2t = 2^m - ( 2t+1) \hspace{0.05cm}. $$

Damit erhält man für den

• $\rm RSC \ 1$ (mit $m = 4, \ t = 4) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^4 - (2 \cdot 4 + 1) \ \underline{= 7}$,
• $\rm RSC \ 2$ (mit $m = 5, \ t = 8) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^5 - (2 \cdot 8 + 1) \ \underline{= 15}$.

(3)  Die Bezeichnung eines Reed–Solomon–Codes lautet ${\rm RSC} \, (n, \, k, \, d_{\rm min})_q$ mit $q = 2^m = n + 1$. Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

• $\rm RSC \ 1 \Rightarrow RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16}$,
• $\rm RSC \ 2 \Rightarrow RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32}$.

(4)  Bezeichnet $d_{\rm min}$ die minimale Distanz eines Blockcodes, so können damit $e = d_{\rm min} - 1$ Symbolfehler erkannt und $t = e/2$ Symbolfehler korrigiert werden:

• ${\rm RSC} \ 1 \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min} = \ \ 9, \ t = 4, \ \underline{e = 8}$,
• ${\rm RSC} \ 2 \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min} = 17, \ t = 8, \ \underline{e = 16}$.

(5)  Richtig sind die beiden mittleren Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Bei ${\rm RSC} \ 1 \, (m = 4)$ entsprechen $n = 15$ Codesymbolen aus $\rm GF(2^5)$ gleich $60$ Bit und $k = 7$ Informationssymbole genau $28$ Bit:

• $\rm RSC \ 1 \Rightarrow RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16} \Rightarrow RSC \, (60, \, 28, \, 9)_2$,
• $\rm RSC \ 2 \Rightarrow RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32} \Rightarrow RSC \, (155, \, 75, \, 17)_2$.

• Für die minimale Distanz auf Bitebene   ⇒   $\rm GF(2)$ ergeben sich mit $d_{\rm min} = 9$ bzw. $d_{\rm min} = 17$ die gleichen Werte wie auf Symbolebene   ⇒   $\rm GF(2^4)$ bzw. $\rm GF(2^5)$ (siehe Theorieteil).