Die Grafik zeigt ein Trellisdiagramm und definiert gleichzeitig die Fehlergrößen ${\it \Gamma}_i(S_0)$ und ${\it \Gamma}_i(S_1)$ zu den Zeitpunkten $i = 0$ bis $i = 5$. Aus diesem Trellis können zum Beispiel abgelesen werden:
Die Grafik zeigt ein Trellisdiagramm und definiert gleichzeitig die Fehlergrößen ${\it \Gamma}_i(S_0)$ und ${\it \Gamma}_i(S_1)$ zu den Zeiten $i = 0$ bis $i = 5$.
* die Coderate $R$,
* das Gedächtnis $m$,
Aus diesem Trellis können zum Beispiel abgelesen werden:
* die freie Distanz $d_{\rm F}$,
* die Coderate $R$,
* die Informationssequenzlänge $L$,
* das Gedächtnis $m$,
* die Sequenzlänge $L'$ inklusive der Terminierung.
* die freie Distanz $d_{\rm F}$,
* die Informationssequenzlänge $L$,
* die Sequenzlänge $L\hspace{0.05cm}'$ inklusive der Terminierung.
In der Aufgabe ist weiter zu klären:
In der Aufgabe ist weiter zu klären:
* die Bedeutung des Endwertes ${\it \Gamma}_5(S_0)$,
* die Bedeutung des Endwertes ${\it \Gamma}_5(S_0)$,
* Auswirkungen von einem bzw. zwei Übertragungsfehlern.
* Auswirkungen von einem bzw. von zwei Übertragungsfehlern.
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''Hinweise:''
''Hinweis:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes| Decodierung von Faltungscodes]].
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes| Decodierung von Faltungscodes]].
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|type="[]"}
|type="[]"}
+ Es handelt sich um einen Rate–1/2–Faltungscode.
+ Es handelt sich um einen Rate–1/2–Faltungscode.
- Das Gedächtnis des Codes ist $m = 2$.
- Das Gedächtnis des Codes ist $m = 2$.
+ Der Faltungscode ist terminiert.
+ Der Faltungscode ist terminiert.
- Die Länge der Informationssequenz ist $L = 5$.
- Die Länge der Informationssequenz ist $L = 5$.
{Geben Sie die freie Distanz $d_{\rm F}$ des Faltungscodes an.
{Geben Sie die freie Distanz $d_{\rm F}$ des Faltungscodes an.
|type="{}"}
|type="{}"}
$d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% }
$d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% }
{Welche Aussagen erlaubt der Endwert ${\it \Gamma}_5(S_0) = 0$ der Fehlergröße?
{Welche Aussagen erlaubt der Endwert ${\it \Gamma}_5(S_0) = 0$ der Fehlergröße?
|type="[]"}
|type="[]"}
- Es ist kein Übertragungsfehler aufgetreten.
- Es ist kein Übertragungsfehler aufgetreten.
- Das Decodierergebnis $\underline{v}$ ist mit Sicherheit richtig (gleich $\underline{u}$).
- Das Decodierergebnis $\underline{v}$ ist mit Sicherheit richtig $($gleich $\underline{u})$.
+ Das Decodierergebnis minimiert die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u}$).
+ Das Decodierergebnis minimiert die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$.
{Welche Aussagen treffen <u>bei einem einzigen</u> Übertragungsfehler zu?
{Welche Aussagen treffen <u>bei einem einzigen</u> Übertragungsfehler zu?
|type="[]"}
|type="[]"}
+ Der Fehlergrößenendwert ist ${\it \Gamma}_5(S_0) = 1$.
+ Der Fehlergrößenendwert ist ${\it \Gamma}_5(S_0) = 1$.
+ Das Decodierergebnis $\underline{v}$ ist mit Sicherheit richtig (gleich $\underline{u}$).
+ Das Decodierergebnis $\underline{v}$ ist mit Sicherheit richtig $($gleich $\underline{u})$.
+ Das Decodierergebnis minimiert die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u}$).
+ Das Decodierergebnis minimiert die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$.
Die Grafik zeigt ein Trellisdiagramm und definiert gleichzeitig die Fehlergrößen ${\it \Gamma}_i(S_0)$ und ${\it \Gamma}_i(S_1)$ zu den Zeiten $i = 0$ bis $i = 5$.
Aus diesem Trellis können zum Beispiel abgelesen werden:
die Coderate $R$,
das Gedächtnis $m$,
die freie Distanz $d_{\rm F}$,
die Informationssequenzlänge $L$,
die Sequenzlänge $L\hspace{0.05cm}'$ inklusive der Terminierung.
In der Aufgabe ist weiter zu klären:
die Bedeutung des Endwertes ${\it \Gamma}_5(S_0)$,
Auswirkungen von einem bzw. von zwei Übertragungsfehlern.
Es gibt hier $2^{k \cdot m} = 2$ Zustände. Daraus folgt $k = 1$ und $m = 1$.
Pro Codierschritt werden $n = 2$ Codebits ausgegeben ⇒ $R = 1/2$.
Die Informationssequenzlänge ist $L = 4$.
Erst durch ein (da $m = 1$) zusätzliches Terminierungsbit kommt man zur Gesamtlänge $L' = 5$.
(2) Die freie Distanz $d_{\rm F}$ ist definiert als die Anzahl der Codebits, in denen sich zwei Sequenzen $\underline{x}$ und $\underline{x'}$ unterscheiden. Als Bezugssequenz wählen wir die Nullsequenz:
ausgedrückt mit der Zustandsabfolge: $S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ \text{...} \ $
Eine der Folgen $\underline{x} ≠ \underline{0}$, die sich von $\underline{0}$ nur in der minimalen Anzahl an Codebits unterscheidet, folgt dem Pfad $S_0 → S_1 → S_0 → S_0 → \\text{...} \ $:
(3) Richtig ist hier nur der Vorschlag 3, weil das Ereignis „Kein Übertragungsfehler” sehr viel wahrscheinlicher ist als drei Fehler an genau vorgegebenen Positionen. Betrachten Sie hierzu die folgende Grafik:
Trellis ohne Fehler/mit drei Übertragungsfehlern
Wird die Nullsequenz gesendet und diese auch empfangen, so kann die Viterbi–Decodierung durch das nachfolgende Trellis veranschaulicht werden.
Der Endwert der Fehlergröße ist ${\it \Gamma}_5(S_0) = 0$, und der Viterbi–Decoder entscheidet mit Sicherheit richtig: $\underline{z} = \underline{x} ⇒ \underline{v} = \underline{u}$.
Für das untere Trellis gehen wir ebenfalls von $\underline{u} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0) ⇒ \underline{x} = (00, \, 00, \, 00, \, 00, \, 00)$ aus. Empfangen wird aber nun $\underline{y} = (00, \, 00, \, 00, \, 11, \, 01)$. Trotzdem gilt ${\it \Gamma}_5(S_0) = 0$. Das Beispiel belegt, dass die beiden ersten Aussagen falsch sind.
(4) Richtig sind alle Antworten:
Wenn man sicher weiß, dass nur ein Übertragungsfehler aufgetreten ist, funktioniert bei einem Faltungscode mit der freien Distanz $d_{\rm F} = 3$ der Viterbi–Algorithmus perfekt, egal, an welcher Position der Fehler aufgetreten ist.
(5) Keiner der Lösungsvorschläge ist richtig, wie aus den nachfolgenden Beispielen zu erkennen ist.
