Aufgaben:Exercise 1.2: ISDN and PCM

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Komponenten des PCM-Senders

Die Umwandlung des analogen Sprachsignals  $q(t)$  in das Binärsignal  $q_{\rm C}(t)$  geschieht bei ISDN  (Integrated Services Digital Network)  entsprechend den Richtlinien der Pulscodemodulation (PCM) durch

• Abtastung im Abstand  $T_{\rm A} = 1/f_{\rm A}$,
• Quantisierung auf  $M = 256$  diskrete Werte,
• binäre PCM–Codierung mit  $N$  Bit pro Quantisierungswert.

Die Netto–Datenrate eines so genannten  $\rm B$–Kanals  (Bearer Channel) ist  $64 \ \rm kbit/s$  und entspricht der Bitrate des redundanzfreien Binärsignals  $q_{\rm C}(t)$. Wegen der anschließenden redundanten Kanalcodierung und der eingefügten Signalisierungsbits ist allerdings die Brutto–Datenrate – also die Übertragungsrate des Sendesignals  $s(t)$  – größer.

Ein Maß für die Qualität des gesamten (ISDN–)Übertragungssystems ist das Sinken–SNR

$$\rho_{v} = \frac{P_q}{P_{\varepsilon}} = \frac{\overline{q(t)^2}}{\overline{[\upsilon(t) - q(t)]^2}}$$

als das Verhältnis der Leistungen des auf den Bereich  $300 \ {\rm Hz}\ \text{...}\ 3400 \ {\rm Hz}$  bandbegrenzten Analogsignals  $q(t)$  und des Fehlersignals  $\varepsilon (t) = v (t) - q(t)$.

Für das Sinkensignal  $v (t)$  wird hierbei eine ideale Signalrekonstruktion mit einem idealen rechteckförmigen Tiefpass vorausgesetzt.

Hinweis:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  Allgemeine Beschreibung von ISDN dieses Buches.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  Pulscodemodulation  des Buches „Modulationsverfahren”.

Fragebogen

1

Mit wievielen Bit  $(N)$  wird jeder (quantisierte) Abtastwert repräsentiert?

$N \ = \ $

2

Wie groß ist die Abtastrate  $f_{\rm A} $?

$f_{\rm A} \ = \ $ $ \ \rm kHz $

3

Ist damit das Abtasttheorem erfüllt?

	Ja,
	nein.

4

Ist das Sinken–SNR  $\rho_{v}$  bei ISDN durch folgende Effekte begrenzt?

	Abtastung (falls Abtasttheorem erfüllt),
	AWGN–Rauschen (Übertragungsfehler).

Musterlösung

Solution

(1)  Die Quantisierungsstufenzahl $M$ wird meist als Zweierpotenz gewählt und für die Bitanzahl $N = {\log_2}\hspace{0.05cm}(M)$.
Aus $M = 2^{8} = 256$ folgt $\underline{N = 8}$.

(2)  Für die Bitrate gilt $R_{\rm B} = N \cdot f_{\rm A}$. Aus $R_{\rm B} = 64 \ \rm kbit/s$ und $N = 8$ erhält man somit $f_{\rm A} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm kHz}$.

(3)  Durch die Bandbegrenzung ist die höchste im Signal $q(t)$ enthaltene Frequenz gleich $3.4 \ \rm kHz$. Nach dem Abtasttheorem müsste deshalb $f_{\rm A} ≥ 6.8 \ \rm kHz$ gelten. Mit $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$ ist die Bedingung erfüllt   ⇒   $\underline {\rm JA}$.

(4)  Richtig sind die beiden letzten Aussagen:

• Auch wenn der Einfluss des AWGN–Rauschens gering ist (kleine Rauschleistungsdichte $N_{0}$), kann das Sinken–SNR $\rho_{v}$ einen durch das Quantisierungsrauschen gegebenen Grenzwert nicht unterschreiten:

$$\rho_{v} \approx \rho_{\rm Q} = 2^{2M} = 2^{16} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} \approx 48\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

• Bei größerer Rauschstörung wird $\rho_{v}$ durch die dann vorhandenen Übertragungsfehler weiter (signifikant) verringert.
• Dagegen führt die Abtastung zu keinem Qualitätsverlust, wenn das Abtasttheorem eingehalten wird.
• Die Abtastung kann dann vollständig rückgängig gemacht werden, wenn das Quellensignal $q(t)$ bandbegrenzt ist und die Signalrekonstruktion (ein idealer Tiefpass) richtig dimensioniert ist.