Aufgaben:Exercise 3.3: From the Signal to the Spectrum

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Rechteckimpuls und zugehöriges Spektrum

Betrachtet wird ein Rechteckimpuls  $x(t)$  der Dauer  $T = 50\,\text{µs}$  und der Höhe  $A = 2\,\text{V}$. An den Sprungstellen bei  $t = 0$  und  $t = T$  ist der Signalwert jeweils  $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat.

In der unteren Grafik ist die dazugehörige Spektralfunktion nach Betrag und Phase qualitativ skizziert. Es gilt:

$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi ( f )} .$$

Der analytische Funktionsverlauf von  $X(f)$  soll ermittelt werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Einige Sonderfälle impulsartiger Signale.

• Gegeben sind weiterhin folgende trigonometrischen Umformungen:

$$\sin ^2( \alpha ) = {1}/{2} \cdot \big( {1 - \cos ( {2\alpha } )} \big),\hspace{0.5cm} \tan( {\alpha /2} ) = \frac{ {1 - \cos ( \alpha )}}{ {\sin ( \alpha )}}.$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion  $X(f)$. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz  $f=10\, \text{kHz}$?

${\rm Re}\big[X(f=10 \,\text{kHz})\big] \ = \ $   $\text{mV/Hz}$

${\rm Im}\big[X(f=10\, \text{kHz})\big]\ = \ $   $\text{mV/Hz}$

2

Berechnen Sie die Betragsfunktion  $|X(f)|$  allgemein. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen  $f = 0$  und  $f=20 \,\text{kHz}$?

$|X(f=0)|\ = \ $   $\text{mV/Hz}$

$|X(f=20\, \text{kHz})|\ = \ $   $\text{mV/Hz}$

3

Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich  $|X(f)|$  zutreffend?

	$|X(f)|$  hat Nullstellen bei Vielfachen von  $f_0 = 1/T$.
	$|X(f)|$  hat Nullstellen bei Vielfachen von  $f_0 = 1/(2T)$.
	In der Mitte zwischen zwei Nullstellen gilt  $|X(f)| = |A/(\pi f)|$.

4

Berechnen Sie die Phasenfunktion  $\varphi (f)$. Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz  $f=10\, \text{kHz}$?

$\varphi (f=10\, \text{kHz})\ = \ $   $\text{Grad}$

Musterlösung

Solution

(1)  Mit der Abkürzung $\omega = 2\pi f$ lautet die Spektralfunktion gemäß dem ersten Fourierintegral:

$$X( f ) = \int_0^T {A \cdot {\rm{e}}^{-{\rm{j}}\omega t} \hspace{0.05cm}{\rm d}t = } \int_0^T {A \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.05cm}{\rm d}t }\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} {\rm{j}} \cdot \int_{\rm{0}}^T {A \cdot \sin ( {\omega t} )} \hspace{0.05cm}{\rm d}t.$$

Nach Integration und Einsetzen der Grenzen folgt daraus:

$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X( f )} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \sin( {\omega T} ),$$

$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( f)} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \left( {\cos ( {\omega T}) - 1} \right) = - \frac{A}{\omega } \cdot\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right).$$

Für die Frequenz $f = 1/(2T) = 10\, \text{kHz}$   ⇒   $\omega \cdot T = \pi$ erhält man:

$${\mathop{\rm Re}\nolimits}[{X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}} )}] = \frac{A}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0},$$

$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}})} ] = \frac{ { - A}}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \big( {1 - \cos ( {\rm{\pi }} )} \big) = - \frac{ { A}}{{ {\rm{\pi }}f}}\hspace{0.15 cm}\underline{= - 0.0637 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$

(2)  Das Betragsquadrat ist die Summe von Real- und Imaginärteil, jeweils quadriert:

$$\left| {X( f )} \right|^2 = \frac{ {A^2 }}{ {\omega ^2 }}\big[ {\sin ^2 ( {\omega T} ) + 1 - 2 \cdot \cos ( {\omega T}) + \cos ^2 ( {\omega T} )} \big].$$

Wegen $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ kann hierfür auch geschrieben werden:

$$\left| {X( f )} \right|^2 = \frac{ {2A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \big( {1 - \cos ( {\omega T} )} \big) = \frac{ {4A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \sin ^2( {\omega T/2} ).$$

Setzt man für $\omega = 2\pi f$ und zieht die Wurzel, so erhält man unter der Voraussetzung $A > 0$:

$$\left| {X( f )} \right| = \left| \frac{A}{ {\rm\pi }f} \cdot \sin ( {\rm \pi }fT ) \right| = A \cdot T \cdot \left| \frac{\sin ( {\rm\pi }fT )}{ {\rm \pi}fT} \right|.$$

Mit der Abkürzung $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ lautet das Ergebnis:

$$\left| {X( f)} \right| = A \cdot T \cdot\left|{\rm si} ( { {\rm{\pi }}fT} ) \right|.$$

Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 1/T = \text{20 kHz}$ ergibt sich zu

$$\left| {X( {f = 20\;{\rm{kHz}}} )} \right| = \frac{ {A \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$

Bei der Berechnung des Wertes für $f = 0$ erscheint der Quotient $\text{0 durch 0}$. Durch Anwendung der l'Hospitalschen Regel kann der Grenzwert berechnet werden:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{ {\sin \left( x \right)}}{x} = 1.$$

Daraus folgt:

$$\left| {X( {f = 0} )} \right| = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.1 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$

Dieses Ergebnis ist einsichtig, da nach dem ersten Fourierintegral der Spektralwert bei $f = 0$ genau der Fläche unter der Zeitfunktion entspricht.

Betragsspektrum des Rechteckimpulses

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe $(2$) treten die Nullstellen im Abstand $f_0 = 1/T$ auf.
• Bei $f_0 = 1/(2T) = f = 10 \;{\rm{kHz}}$ ist zwar der Realteil $0$, aber nicht der Imaginärteil.
• Bei den Argumenten $f \cdot T = 0.5, 1.5, 2.5,\hspace{0.05cm}\text{ ... }$ ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich $1$, und es gilt:

$$\left| {X( f )} \right| = \frac{A}{ {{\rm{\pi }}\left| f \right|}} = X_{\rm S} ( f ).$$

• Bei anderen Frequenzen dient $X_{\rm S}(f)$ als obere Schranke, das heißt, es gilt stets ($|Xf)| \geq X_{\rm S}(f)$.
• In der Skizze ist diese Schranke zusätzlich zu $|X(f)|$ als violette Kurve eingezeichnet.

(4)  Nach der Definition auf der Angabenseite kann man die Phasenfunktion wie folgt berechnen:

$$\varphi ( f ) = - \arctan \frac{ { {\mathop{\rm Im}\nolimits} ( f )}}{ { {\mathop{\rm Re}\nolimits} ( f )}}.$$

Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe $(1)$ gilt somit:

$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ {1 - \cos ( {\omega T} )}}{ {\sin ( {\omega T} )}}} \right).$$

Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$. Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:

$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\tan ( { {\rm{\pi }}fT} )} \right) = {\rm{\pi }}fT.$$

Mit $f = 10\,\text{kHz}$ und $T = 50\,\text{µs}$ erhält man daraus den Phasenwinkel $\pi /2$ entsprechend $\underline{90^{\circ}}$ .