Aufgaben:Exercise 5.4: Comparison of Rectangular and Hanning Window

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Beispiele für die Spektralanalyse

Gegeben sei der prinzipielle Zeitverlauf eines periodischen Signals:

$$x(t) = A_1 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + A_2 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_2 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Unbekannt und damit zu schätzen sind dessen Parameter  $A_1$,  $f_1$,  $A_2$  und  $f_2$.

Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion  $w(t)$  wird das Produkt  $y(t) = x(t) \cdot w(t)$  einer  Diskreten Fouriertransformation  (DFT) mit den Parametern  $N = 512$  und  $T_{\rm P}$  unterworfen. Die Zeitdauer  $T_{\rm P}$  des zu analysierenden Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.

Für die Fensterung stehen zwei Funktionen zur Verfügung, die für  $|t| > T_{\rm P}/2$  jeweils Null sind:

• Das  Rechteckfenster:

$${w} (\nu) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -N/2 \le \nu < N/2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

$$W(f) ={1}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {f}/{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm},$$

• das  Hanning–Fenster:

$${w} (\nu) = \left\{ \begin{array}{c} 0.5 + 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot {\nu}/{N}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -N/2 \le \nu < N/2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

$$W(f) ={0.5}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f}{f_{\rm A}})+ {0.25}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ {0.5}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$

$W(f)$  ist hierbei die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion  $w(t)$, während  $w(ν)$  die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.

In der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen  $Y(f)$  Bezug genommen, zum Beispiel auf

$$Y_{\rm A}(f) = 1\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm 1\,\,{\rm kHz})+ 0.5\,\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm 1.125\,\,{\rm kHz}) \hspace{0.05cm}.$$

In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen  $Y_{\rm B}(f)$  und  $Y_{\rm C}(f)$  abgebildet, die sich ergeben, wenn ein  $1 \ \text{kHz}$–Signal  mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$  ungünstig gewählt ist.

• Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrunde gelegt, für das andere das Hanning–Fenster.
• Nicht angegeben wird, welche Grafik zu welchem Fenster gehört.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Spektralanalyse.
• Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung  $f_{\rm A}$  gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters  $T_{\rm P}$  ist.

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen mit Sicherheit zu, wenn die DFT das Ausgangsspektrum  $Y_{\rm A}(f)$  anzeigt?

	Zur Gewichtung wurde das Rechteckfenster verwendet.
	Zur Gewichtung wurde das Hanning–Fenster verwendet.
	Es wurde der DFT–Parameter  $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$  verwendet.
	Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem tatsächlichen Spektrum $X(f)$.

2

Wie lautet  $Y(f)$  bei Verwendung des Hanning–Fensters und  $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum  $X(f) = Y_{\rm A}(f)$  anliegt?
Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei  $f_1= 1\ \text{kHz}$  und  $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$  an.

$G(f_1 = 1.000 \ \text{kHz})\ = \ $  $\text{V}$

$G(f_2 = 1.125 \ \text{kHz})\ = \ $  $\text{V}$

3

Wir betrachten das  $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal  $x(t)$. Welches Spektrum -  $Y_{\rm B}(f)$  oder  $Y_{\rm C}(f)$  – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$  ungünstig gewählt ist?

	$Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich bei Rechteckfensterung.
	$Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich mit dem Hanning-Fenster.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

• Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, auch wenn $x(t)$ nur eine Frequenz beinhaltet   ⇒   es wurde das Rechteckfenster verwendet.
• Mit $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ ergibt sich für die Frequenzauflösung $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$ Damit liegt die Frequenz $f_2$ nicht im vorgegebenen Raster und $Y(f)$ würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen. Das heißt:   die dritte Aussage ist falsch.
• Wie aus der folgenden Grafik hervorgeht, hat $x(t)$ die Periodendauer $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung ${\rm P}\{ x(t)\} $ im Intervall $|t| \leq T_{\rm P}/2$ mit $x(t)$ überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion $w(t)$ nicht störend auswirkt:   Das DFT–Spektrum $Y(f)$ stimmt somit mit dem tatsächlichen Spektrum überein.

Beispielsignal 1 zur Spektralanalyse

(2)  Wegen $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$ setzt sich das Hanning–Spektrum $W(f)$ aus drei Diracfunktionen bei positiven Frequenzen und drei dazu achsensymmetrischen Diracs bei negativen Frequenzen zusammen. Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:

$$W(f) =0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f-f_{\rm A})+ 0.25\cdot {\rm \delta}(f+f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen $X(f)$ und $W(f)$. Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:

$$\begin{align*} G(f = 0.875\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.250\, {\rm V}, \\ G(f = f_1 = 1.000\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.5 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.625\, {\rm V}}, \\ G(f = f_2 = 1.125\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.5 \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.500\, {\rm V}}, \\ G(f = 1.250\,{\rm kHz}) & = 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.125\, {\rm V} \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Die folgende Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion $w(t)$ des Hanning–Fensters.

Beispielsignal 2 zur Spektralanalyse

(3)  Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

• Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite $T_{\rm P}$ (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist.
• In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet.