Aufgaben:Exercise 1.3Z: Exponentially Decreasing Impulse Response

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Abfallende Impulsantwort

Gemessen wurde die Impulsantwort  $h(t)$  eines LZI–Systems,

• die für alle Zeiten  $t < 0$  identisch Null ist,
• sich zur Zeit  $t > 0$  sprungartig verändert, und
• für  $t > 0$  entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:

$$h(t) = {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$

Der Parameter sei  $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$. In der Teilaufgabe  (3) ist nach der  3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  gefragt, die wie folgt (implizit) definiert ist:

$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| .$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Systembeschreibung im Zeitbereich
• Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:

$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\pi}/{2} .$$

Fragebogen

1 Berechnen Sie den Frequenzgang  $H(f)$. Welcher Wert ergibt sich für  $f = 0$?

$H(f = 0) \ = \ $

2 Welchen Wert besitzt die Impulsantwort zur Zeit  $t = 0$?

$h(t = 0) \ = \ $  $\rm 1/s$

3 Berechnen Sie die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$.

$f_{\rm G} \ =\ $  $\rm Hz$

4 Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Das betrachtete System ist kausal.
	Das betrachtete System hat Hochpass–Charakter.
	Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal der Frequenz  $f_{\rm G}$  an, so ist das Ausgangssignal ebenfalls cosinusförmig.

Musterlösung

Solution

(1)  Der Frequenzgang  $H(f)$  ist die Fouriertransformierte von  $h(t)$:

$$H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\hspace{0.15cm}

{\rm d}t.$$

• Die Integration führt zum Ergebnis:

$$H(f) = \left[ \frac{-1/T}{{\rm j}2\pi f+{1}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T})

t}\right]_{0}^{\infty}= \frac{1}{1+{\rm j} \cdot 2\pi fT}.$$

• Bei der Frequenz  $f = 0$  hat der Frequenzgang den Wert  $H(f = 0) \; \underline{= 1}$.

(2)  Dieser Frequenzgang kann mit Real– und Imaginärteil auch wie folgt geschrieben werden:

$$H(f) = \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} -{\rm j} \cdot \frac{2\pi fT}{1+(2\pi fT)^2}.$$

• Die Impulsantwort an der Stelle  $t = 0$  ist gleich dem Integral über  $H(f)$.
• Da der Imaginärteil ungerade ist, muss nur über den Realteil integriert werden.
• Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft erhält man:

$$h(t=0)=2 \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} \hspace{0.1cm}{\rm

d}f = \frac{1}{\pi T} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x .$$

• Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat  $π/2$  ergibt sich:

$$h(t=0)= \frac{1}{2 T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 500\cdot 1/s}}.$$

• Das Ergebnis zeigt , dass die Impulsantwort bei  $t = 0$  gleich dem Mittelwert aus links– und rechtsseitigem Grenzwert ist.

(3)  Der Amplitudengang lautet bei dieser Aufgabe bzw. allgemein mit der 3dB-Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$:

$$|H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fT)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(f/f_{\rm G})^2}}.$$

• Durch Koeffizientenvergleich erhält man:

$$f_{\rm G} = \frac{1}{2\pi T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 159 \hspace{0.1cm} Hz}}.$$

(4)  Richtig ist der erste Lösungsvorschlag}.:

• Wegen  $h(t) = 0$   für  $t < 0$  ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen Tiefpass erster Ordnung.
• Dagegen müsste ein Hochpass folgende Bedingung erfüllen:

$$H(f = 0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm}{\rm d}t = 0.$$

• $H(f)$  ist eine komplexe Funktion. Der Phasengang lautet  (siehe  Aufgabe 1.1Z):

$$b(f) = \arctan {f}/{f_{\rm G}}.$$

• Für die Frequenz  $f = f_{\rm G}$  erhält man  $b(f = f_{\rm G}) = π/4 = 45^\circ$.
• Liegt am Eingang ein Cosinussignal der Frequenz  $f = f_{\rm G}$  an, so ergibt sich für das Ausgangssignal:

$$y(t) = K \cdot \cos( 2 \pi f_{\rm G} t - 45^{\circ}).$$

• Dieses Signal ist zwar eine harmonische Schwingung, aber kein Cosinussignal.