Aufgaben:Exercise 1.5Z: Probabilities of Default

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Geräte–Funktionsschaltbild

Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen  $B_1, \ B_2,\ \text{...} \ , B_n$  aufgebaut, wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.

• Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A}$  ausfallen.
• Das Teil  $T_1$  funktioniert nur dann, wenn alle  $n$  Bauteile funktionsfähig sind.

Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert. Das Gerät  $G$  kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden:

$$ G = T_1 \cup T_2.$$

Das heißt:   Das Gerät  $G$  ist bereits dann einsatzbereit, wenn zumindest eines der beiden baugleichen Teilgeräte  $(T_1$  oder  $T_2)$  funktionsfähig ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

• Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo 

Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

Fragebogen

1 Die Ausfallwahrscheinlichkeit  $p_{\rm G}$  des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als  $0.04\%$.
Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm T}$  der zwei parallel vorhandenen identischen Geräteteile höchstens sein?

$p_\text{T, max} \ = \ $ $ \ \%$

2 Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei  $\underline{p_{\rm A} = 0.1}$.  Jedes Teilgerät bestehe aus  $n = 3$  Bauteilen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm T}$  exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.

$p_{\rm T} \ = \ $ $ \ \%$

3 Welcher Wert ergibt sich für  $\underline{p_{\rm A} = 0.01}$?  In welcher Form kann man  $p_{\rm T}$  für kleine Werte von  $p_{\rm A}$  annähern?

$p_{\rm T} \ = \ $ $ \ \%$

4 Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile  $p_{\rm A} = 0.4\%$.  Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten, wenn  $p_{\rm T} ≤ 2\%$  gelten soll?

$n \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Da die beiden Teilgeräte unabhängig voneinander ausfallen, gilt mengentheoretisch:

$$\rm Pr(\it G \rm \hspace{0.1cm}f\ddot{a}llt\hspace{0.1cm}aus) = Pr(\it T_{\rm 1}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus) \cdot Pr(\it T_{\rm 2}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus). $$

Da die Teilgeräte $T_1$ und $T_2$ zudem baugleich sind, fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p_{\rm T}$ aus. Daraus folgt:

$$p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \rm bzw. \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T,\hspace{0.1cm}max}= \sqrt{\it p_{\rm G}} \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\%}.$$

(2)  Dieses Ergebnis ist einfacher über das Komplementärereignis zu bestimmen:

$$\rm Pr(\it T_{\rm 1}\hspace{0.1cm}\rm funktioniert) = \rm Pr(\it B_{\rm 1} \hspace{0.1cm}\rm funktioniert \cap \it B_{\rm 2} \hspace{0.1cm} \rm funktioniert \cap \it B_{\rm 3}\hspace{0.1cm} \rm funktioniert).$$

$$\Rightarrow 1- p_{\rm T}= (1-p_{\rm A})^{3} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}

1-p_{\rm T}=(0.9)^3= 0.729 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.271 = 27.1\%}.$$

(3)  Mit $p_{\rm A} = 0.01$ erhält man $p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.97\%}.$ Allgemein gilt die Näherung: $p_{\rm T} \approx n \cdot p_{\rm A}\; (= 3\%)$.

(4)  Mit der Näherung der letzten Teilaufgabe folgt direkt $\underline{n = 5}$. Bei größerem $p_{\rm A}$ müsste man wie folgt vorgehen:

$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$