Aufgaben:Exercise 2.6: PN Generator of Length 5

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PN-Generator der Länge  $L = 5$

In der Grafik sehen Sie einen Pseudozufallsgenerator der Länge  $L = 5$, der zur Erzeugung einer Binärfolge  $\langle z_{\nu} \rangle$  eingesetzt werden soll.

• Zum Startzeitpunkt seien alle Speicherzellen mit Einsen vorbelegt.
• Zu jedem Taktzeitpunkt wird der Inhalt des Schieberegisters um eine Stelle nach rechts verschoben und der aktuell erzeugte Binärwert  $z_{\nu}$  $(0$  oder  $1)$  in die erste Speicherzelle eingetragen.

• Hierbei ergibt sich  $z_{\nu}$  aus der Modulo-2-Addition zwischen  $z_{\nu-3}$  und  $z_{\nu-5}$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen.

• Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo   Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel.

Fragebogen

1 Wie lautet das Generatorpolynom  $G(D)$  des dargestellten PN-Generators?

	$G(D) = D^5 + D^2 +1$.
	$G(D) = D^5 + D^3 +1$.
	$G(D) = D^4 + D^2 +D$.

2 Welche Oktalkennung  $O_{\rm G}$  hat dieser PN-Generator?

$O_{\rm G} \ = \ $ $\ \rm (oktal)$

3 Gehen Sie davon aus, dass das Generatorpolynom  $G(D)$  primitiv ist.
Ist die Ausgangsfolge  $〈z_ν \rangle$  eine M-Sequenz? Wie groß ist deren Periodendauer  $P$?

$P\ = \ $

4 Welche Oktalkennung  $O_{\rm R}$  beschreibt das zu  $G(D)$  reziproke Polynom  $G_{\rm R}(D)$ ?

$O_{\rm R} \ = \ $ $\ \rm (oktal)$

5 Welche Aussagen gelten für die Konfiguration mit dem Polynom  $G_{\rm R}(D)$?

	Es handelt sich ebenfalls um eine Folge maximaler Länge.
	Die Ausgangsfolge von  $G_{\rm R}(D)$  ist die gleiche wie die des Generatorpolynoms  $G(D)$.
	Die Ausgangsfolgen von  $G_{\rm R}(D)$  und  $G(D)$  sind zueinander invers.
	Beide Folgen zeigen gleiche statistische Eigenschaften.
	Bei  $G_{\rm R}(D)$  können alle Speicherelemente mit Nullen vorbelegt sein.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2   ⇒   $G(D) = D^5 + D^3 +1$.

• Das Generatorpolynom $G(D)$ kennzeichnet die Rückführungen, die zur Modulo-2-Addition herangezogen werden.
• $D$ ist ein formaler Parameter, der eine Verzögerung um einen Takt angibt.
• $D^3$ kennzeichnet dann eine Verzögerung um drei Takte.

(2)  Es ist $g_0 = g_3 = g_5 = 1$. alle anderen Rückführungskoeffizienten sind $0$. Daraus folgt:

$$(g_{\rm 5}\hspace{0.1cm}g_{\rm 4}\hspace{0.1cm}g_{\rm 3}\hspace{0.1cm}g_{\rm 2}\hspace{0.1cm}g_{\rm 1}\hspace{0.1cm}g_{\rm 0})=\rm (101001)_{bin}\hspace{0.15cm} \underline{=(51)_{oct}}.$$

(3)  Da das Generatorpolynom $G(D)$ primitiv ist, erhält man eine M-Sequenz. Dementsprechend ist die Periodendauer maximal:

$$P_{\rm max} = 2^{L}-1 \hspace{0.15cm}\underline {= 31}.$$

Im Theorieteil ist in der Tabelle mit den PN-Generatoren maximaler Länge (M-Sequenzen) für den Grad $5$ die Konfiguration $(51)_{\rm oct}$ aufgeführt.

(4)  Das reziproke Polynom lautet:

$$G_{\rm R}(D)=D^{\rm 5}\cdot(D^{\rm -5}+\D^{\rm -3}+ 1)= D^{\rm 5}+D^{\rm 2}+1.$$

Somit ist die Oktalkennung für diese Konfiguration $\rm (100101)_{bin}\hspace{0.15cm} \underline{=(45)_{oct}}.$

(5)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

• Die Ausgangsfolge der reziproken Realisierung $G_{\rm R}(D)$ eines primitiven Polynoms $G(D)$ ist immer ebenfalls eine M-Sequenz.
• Beide Folgen sind zueinander invers. Das bedeutet:
• Die Ausgangsfolge von$(45)_{\rm oct}$ ist gleich der Folge von $(51)_{\rm oct}$, wenn man diese von rechts nach links liest und eine Phase (zyklische Verschiebung) berücksichtigt.
• Voraussetzung ist wieder, dass nicht alle Speicherzellen mit Nullen vorbelegt sind.
• Unter dieser Bedingung weisen beide Folgen tatsächlich auch gleiche statistische Eigenschaften auf.