Aufgaben:Exercise 3.8Z: Circle (Ring) Area

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Zu den Kreisringflächen

Wir betrachten unterschiedlich große Kreise:

• Der Radius  $r$  und die Fläche  $A$  lassen sich als voneinander abhängige Zufallsgrößen auffassen.
• Es wird vorausgesetzt, dass der Radius auf den Bereich  $6 \le r \le 8$  beschränkt ist.

In der oberen Skizze ist der Bereich, in dem solche Kreise  (alle mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung)  liegen können, gelb markiert. Weiterhin kann davon ausgegangen werden, dass der Radius in diesem Intervall gleichverteilt ist:

$$f_r(r)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.5 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}{\rm 6\le \it r \le \rm 8}, \\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$

Ab der Teilaufgabe  (5)  werden schmale Kreisringe mit dem Mittenradius  $r$  und der Breite  $b$  betrachtet (untere Skizze):

• Die Fläche eines solchen Kreisrings wird mit  $R$  bezeichnet.
• Die möglichen Mittenradien  $r$  seien auch hier gleichverteilt zwischen  $6$  und  $8$.
• Die Kreisringbreite beträgt  $b = 0.1$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Exponentialverteilte Zufallsgrößen.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  Transformation von Zufallsgrößen.

Fragebogen

1

Geben Sie die Transformationskennlinie  $A = g(r)$  analytisch an.  Wie groß ist der Minimalwert der Zufallsgröße  $A$?

$A_\text{min} \ = \ $

2

Wie groß ist der Maximalwert der Zufallsgröße  $A$?

$A_\text{max} \ = \ $

3

Welcher Wert  $m_{ A} = {\rm E}\big[A\big]$  ergibt sich für die „mittlere” Kreisfläche?

$m_{ A} \ = \ $

4

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgröße  $A$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fläche  $A> 150$  ist?

${\rm Pr}(A > 150) \ = \ $ $\ \%$

5

Welche WDF besitzt die Zufallsgröße  $R$  (Fläche der Kreisringe gemäß der unteren Skizze)?  Wie groß ist deren Minimalwert?  Es gelte  $b = 0.1$.

$R_\text{min} \ = \ $

6

Es gelte weiter  $b = 0.1$. Welchen Maximalwert besitzt die Zufallsgröße  $R$?

$R_\text{max} \ = \ $

7

Wie groß ist der Erwartungswert der Zufallsgröße  $R$  für  $b = 0.1$?

${\rm E}\big[R\big] \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Die Gleichung der Kreisfläche ist gleichzeitig die Transformationskennlinie:   $A = \pi \cdot r^2$.
Daraus ergibt sich mit $r = 6$ für den Minimalwert:   $A_\text{min} \hspace{0.15cm}\underline {= 113.09}$.

(2)  Entsprechend gilt mit $r = 8$ für den Maximalwert:   $A_\text{max} \hspace{0.15cm}\underline {= 201.06}$.

(3)  Am einfachsten löst man diese Aufgabe wie folgt:

$$m_{\rm A}={\rm E}\big[A\big]={\rm E}\big[g(r)\big]=\int_{ -\infty}^{+\infty}g(r)\cdot f_r(r) {\rm d}r.$$

Mit $g(r) = \pi \cdot r^2$ und $f_r(r) = 1/2$ im Bereich von $6$ ... $8$ erhält man:

$$m_{\rm A}=\int_{\rm 6}^{\rm 8}1/2 \cdot\pi\cdot r^{\rm 2}\, {\rm d} \it r=\frac{\pi}{\rm 6}\cdot \rm ( 8^3-6^3) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 154.98}.$$

(4)  Die WDF der transformierten Zufallsgröße $A$ lautet:

$$f_A(A)=\frac{f_r(r)}{|g\hspace{0.05cm}'(r)|}\Bigg|_{r=h(y) = \sqrt{A/ \pi }}.$$

Im Bereich zwischen $A_\text{min} {= 113.09}$ und $A_\text{max} {= 201.06}$ gilt dann:

$$f_A(A)=\frac{\rm 1/2}{\rm 2\cdot \pi\cdot\it r}\Bigg|_{\it r=\sqrt{\it A/\rm \pi}}=\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}}.$$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man durch Integration:

$${\rm Pr}(A> 150)=\int_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}} \; \rm d \it A= \frac{\rm 2\cdot\sqrt{\it A}}{\rm 4\cdot\sqrt{\pi}}\Big|_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}.$$

Die obere Integrationsgrenze liefert den Wert $4$ und die untere Grenze $3.455$. Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr}(A> 150) \hspace{0.15cm}\underline {=0.545}.$$

(5)  Für die Kreisringfläche $R$ gilt bei gegebenem Radius $r$:

$$R=\left (r+{b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi-\left ({\it r}-{\it b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi= \rm2\cdot\pi\cdot\it r \cdot b.$$

• Zwischen $R$ und $r$ besteht also ein linearer Zusammenhang.
• Das heißt, $R$ ist ebenfalls gleichverteilt und zwar unabhängig von der Breite $b$, solange $b \ll r$ ist.
• Für den Minimalwert gilt:

$$R_{\rm min}=\rm 2\pi\cdot 6\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx3.77}. $$

(6)  Entsprechend ist der Maximalwert:

$$R_{\rm max}=\rm 2\pi\cdot 8\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.03}.$$

(7)  Aufgrund des linearen Zusammenhangs zwischen $R$ und $r$ führt der mittlere Radius $r = 7$ auch zur mittleren Kreisringfläche:

$${\rm E}\big[R\big]=\rm 2\pi\cdot 7\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 4.4}.$$