Aufgaben:Exercise 3.11: Chebyshev's Inequality

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Beispielhafte Tschebyscheffsch–Schranke

Ist über eine Zufallsgröße  $x$  nichts weiter bekannt als nur

• der Mittelwert  $m_x$  und
• die Streuung  $\sigma_x$,

so gibt die  Tschebyscheffsche Ungleichung  eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass  $x$  betragsmäßig mehr als einen Wert  $\varepsilon$  von seinem Mittelwert  $m_x$  abweicht.

Diese Schranke lautet:

$${\rm Pr}(|x-m_x|\ge \varepsilon) \le {\sigma_x^{\rm 2}}/{\varepsilon^{\rm 2}}.$$

Zur Erläuterung:

• In der Grafik ist diese obere Schranke rot eingezeichnet.
• Der grüne Kurvenverlauf zeigt die tatsächliche Wahrscheinlichkeit bei der Gleichverteilung.
• Die blauen Punkte gelten für die Exponentialverteilung.

Aus dieser Darstellung ist zu erkennen, dass die  Tschebyscheffsche Ungleichung  nur eine sehr grobe Schranke darstellt. 
Sie sollte nur dann verwendet werden, wenn von der Zufallsgröße wirklich nur der Mittelwert und die Streuung bekannt sind.

Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Weitere Verteilungen.
• Insbesondere wird auf die Seite  Tschebyscheffsche Ungleichung  Bezug genommen .

• Rechts sind Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}_x$  angegeben.

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Vorstellbar ist eine Zufallsgröße mit  ${\rm Pr}(|x -m_x> | \ge 3\sigma_x) = 1/4$.
	„Tschebyscheff” liefert für  $\varepsilon < \sigma_x$  keine Information.
	${\rm Pr}(|x -m_x> | \ge \sigma_x)$  ist für große  $\varepsilon$  identisch Null, wenn  $x$  begrenzt ist.

2

Es gelte  $k = 1, \ 2, \ 3, \ 4$.  Geben Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeit  $p_k = {\rm Pr}(|x -m_x | \ge k \cdot \sigma_x)$  für die Gaußverteilung an.  Wie groß ist  $p_3$?

${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = \ $ $\ \%$

3

Welche Überschreitungswahrscheinlichkeiten  $p_k$  ergeben sich bei der  Exponentialverteilung.  Hier gilt   $m_x = \sigma_x = 1/\lambda$.  Wie groß ist  $p_3$?

${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = \ $ $\ \%$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Die erste Aussage ist falsch. Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier die Schranke $1/9$.
• Bei keiner Verteilung kann die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit gleich $1/4$ sein.
• Für $\varepsilon < \sigma_x$ liefert Tschebyscheff eine Wahrscheinlichkeit größer als $1$. Diese Information ist nutzlos.
• Die letzte Aussage ist zutreffend. Beispielsweise gilt bei der Gleichverteilung:

$${\rm Pr}(| x- m_x | \ge \varepsilon)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 1-{\varepsilon}/{\varepsilon_{\rm 0}} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{\it \varepsilon<\varepsilon_{\rm 0}=\sqrt{\rm 3}\cdot\sigma_x},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right. $$

(2)  Bei der Gaußverteilung gilt:

$$p_k={\rm Pr}(| x-m_x| \ge k\cdot\sigma_{x})=\rm 2\cdot \rm Q(\it k).$$

Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte (in Klammern:   Schranke nach Tschebyscheff):

$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x}) = 31.7 \% \hspace{0.3cm}(100 \%),$$

$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x}) = 4.54 \% \hspace{0.3cm}(25 \%),$$

$$k= 3\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.26 \%} \hspace{0.3cm}(11.1 \%),$$

$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = 0.0064 \% \hspace{0.3cm}(6.25 \%).$$

(3)  Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit setzen wir $\lambda; = 1$   ⇒   $m_x = \sigma_x = 1$. Dann gilt:

$${\rm Pr}(|x - m_x| \ge k\cdot\sigma_{x}) = {\rm Pr}(| x-1| \ge k).$$

Da in diesem Sonderfall die Zufallsgröße stets $x >0$ ist, gilt weiter:

$$p_k= {\rm Pr}( x \ge k+1)=\int_{k+\rm 1}^{\infty}\hspace{-0.15cm} {\rm e}^{-x}\, {\rm d} x={\rm e}^{-( k + 1)}.$$

Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte für die Exponentialverteilung:

$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x}) \rm e^{-2}= \rm 13.53\%,$$

$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x})= \rm \rm e^{-3}=\rm 4.97\% ,$$

$$k= 3\text\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})= \rm \rm e^{-4}\hspace{0.15cm}\underline{ =\rm 1.83\% },$$

$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = \rm e^{-5}= \rm 0.67\%.$$