Applets:Das Gram-Schmidt-Verfahren

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Programmbeschreibung

Das Applet verdeutlicht die Augendiagramme für

• verschiedene Codierungen  (binär–redundanzfrei,  quaternär–redundanzfrei,  pseudo–ternär:  AMI und Duobinär)  sowie
• verschiedene Empfangskonzepte  (Matched–Filter–Empfänger,  CRO–Nyquistsystem,  gaußförmiges Empfangsfilter).

Das letzte Empfängerkonzept führt zu Impulsinterferenzen, das heißt:  Benachbarte Symbole beeinträchtigen sich bei der Symbolentscheidung gegenseitig.

Solche Impulsinterferenzen und deren Einfluss auf die Fehlerwahrscheinlichkeit lassen sich durch das Augendiagramm sehr einfach erfassen und quantifizieren.  Aber auch für die beiden anderen (impulsinterferenzfreien) Systeme lassen sich anhand der Grafiken wichtige Erkenntnisse gewinnen.

Ausgegeben wird zudem die ungünstigste („worst case”) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$, die bei den binären Nyquistsystemen identisch mit der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  ist und für die beiden anderen Systemvarianten eine geeignete obere Schranke darstellt:  $p_{\rm U} \ge p_{\rm M}$.

In der  $p_{\rm U}$–Gleichung bedeuten:

• ${\rm Q}(x)$  ist die  Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion.  Die normierte Augenöffnung kann Werte zwischen  $0 \le ö_{\rm norm} \le 1$  annehmen.
• Der Maximalwert  $(ö_{\rm norm} = 1)$  gilt für die binären Nyquistsysteme und  $ö_{\rm norm}=0$  steht für ein „geschlossenes Auge”.
• Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  hängt vom einstellbaren Parameter  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  ab, aber auch von der Codierung und vom Empfängerkonzept.

Theoretischer Hintergrund

Signaldarstellung mit orthonormalen Basisfunktionen

Wir gehen von einer Menge  $\{s_i(t)\}$  möglicher Sendesignale aus, die den möglichen Nachrichten  $m_i$  eineindeutig zugeordnet sind. Mit  $i = 1$, ... , $M$  gelte:

$$m \in \{m_i \}, \hspace{0.2cm} s(t) \in \{s_i(t) \}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm} m = m_i \hspace{0.1cm} \Leftrightarrow \hspace{0.1cm} s(t) = s_i(t) \hspace{0.05cm}.$$

Für das Folgende setzen wir weiter voraus, dass die  $M$ Signale  $s_i(t)$  energiebegrenzt  sind, was meist gleichzeitig bedeutet, dass sie nur von endlicher Dauer sind.

$\text{Satz:}$  Eine jede Menge  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  energiebegrenzter Signale lässt sich in  $N \le M$  orthonormale Basisfunktionen  $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$  entwickeln. Es gilt:

$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) , \hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N \hspace{0.05cm}.$$

Jeweils zwei Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  und  $\varphi_k(t)$  müssen orthonormal zueinander sein, das heißt, dass gelten muss  $(\delta_{jk}$  nennt man das Kronecker–Symbol$)$:

$$<\hspace{-0.1cm}\varphi_j(t), \hspace{0.05cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm}> = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\,d \it t = {\rm \delta}_{jk} = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.1cm}j = k \\ {\rm falls}\hspace{0.1cm} j \ne k \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

Der Parameter  $N$  gibt dabei an, wieviele Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  benötigt werden, um die  $M$  möglichen Sendesignale darzustellen. Mit anderen Worten:   $N$  ist die Dimension des Vektorraums, der von den  $M$  Signalen aufgespannt wird. Dabei gilt:

• Ist  $N = M$, so sind alle Sendesignale zueinander orthogonal. Sie sind nicht notwendigerweise orthonormal, das heißt, die Energien  $E_i = <\hspace{-0.1cm}s_i(t), \hspace{0.05cm}s_i(t) \hspace{-0.1cm}>$  können durchaus ungleich Eins sein.
  
• Der Fall  $N < M$  ergibt sich, wenn mindestens ein Signal  $s_i(t)$  als Linearkombination von Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  dargestellt werden kann, die sich aus anderen Signalen  $s_j(t) \ne s_i(t)$  ergeben haben.
  

Darstellung der drei Sendesignale durch zwei Basisfunktionen

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten  $M = 3$  energiebegrenzte Signale gemäß der Grafik.

Man erkennt sofort:

• Die Signale  $s_1(t)$  und  $s_2(t)$  sind zueinander orthogonal.
  

• Die Energien sind  $E_1 = A^2 \cdot T = E$  und  $E_2 = (A/2)^2 \cdot T = E/4$.
  

• Die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  sind jeweils formgleich mit  $s_1(t)$  bzw.  $s_2(t)$.
• Beide Signale besitzen jeweils die Energie „Eins”:

$$\varphi_1(t)=\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1} } = \frac{s_1(t)}{\sqrt{A^2 \cdot T} } = \frac{1}{\sqrt{ T} } \cdot \frac{s_1(t)}{A}$$

$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_1(t) = s_{11} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}s_{11} = \sqrt{E}\hspace{0.05cm},$$

$$\varphi_2(t) =\frac{s_2(t)}{\sqrt{E_2} } = \frac{s_2(t)}{\sqrt{(A/2)^2 \cdot T} } = \frac{1}{\sqrt{ T} } \cdot \frac{s_2(t)}{A/2}\hspace{0.05cm}$$

$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_2(t) = s_{21} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}s_{21} = {\sqrt{E} }/{2}\hspace{0.05cm}.$$

• Das Signal  $s_3(t)$  kann durch die vorher bestimmten Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  ausgedrückt werden:

$$s_3(t) =s_{31} \cdot \varphi_1(t) + s_{32} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},$$

$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} s_{31} = {A}/{2} \cdot \sqrt {T}= {\sqrt{E} }/{2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{32} = - A \cdot \sqrt {T} = -\sqrt{E} \hspace{0.05cm}.$$

Trotz  $M=3$  gilt also im vorliegenen Fall nur  $N=2$.

Im rechten unteren Bild sind die Signale in einer 2D–Darstellung mit den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  als Achsen dargestellt, wobei  $E = A^2 \cdot T$  gilt und der Zusammenhang zu den anderen Grafiken durch die Farbgebung zu erkennen ist.

Die vektoriellen Repräsentanten der Signale  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_3(t)$  in diesem zweidimensionellen Vektorraum lassen sich daraus wie folgt ablesen:

$$\mathbf{s}_1 = (\sqrt{ E}, \hspace{0.1cm}0), \hspace{0.5cm} \mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.1cm}\sqrt{ E}/2), \hspace{0.5cm} \mathbf{s}_3 = (\sqrt{ E}/2,\hspace{0.1cm}-\sqrt{ E} ) \hspace{0.05cm}.$$

Das Verfahren nach Gram-Schmidt

Im letzten  $\text{Beispiel}$  war die Bestimmung der beiden orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  sehr einfach, da diese formgleich mit  $s_1(t)$  bzw.  $s_2(t)$  waren. Das  Gram–Schmidt–Verfahren  findet die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_N(t)$  für beliebig vorgebbare Signale  $s_1(t)$, ... , $s_M(t)$, und zwar wie folgt:

• Die erste Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist stets formgleich mit  $s_1(t)$. Es gilt:

$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}} = \frac{s_1(t)}{|| s_1(t)||} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \varphi_1(t) || = 1, \hspace{0.2cm}s_{11} =|| s_1(t)||,\hspace{0.2cm}s_{1j} = 0 \hspace{0.2cm}{\rm f{\rm \ddot{u}r }}\hspace{0.2cm} j \ge 2 \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Hinweise zur Nomenklatur:}$ 

(1)  Ausgehend von zwei reellen und energiebegrenzten Zeitfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  erhält man für das  innere Produkt allgemein:

$$<\hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.05cm}y(t) \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.15cm}= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot y(t)\,d \it t \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Daraus ergibt sich die  Euklidische Norm  der Zeitfunktion $s_1(t)$:

$$\vert \vert s_1(t) \vert \vert = \sqrt{<\hspace{-0.1cm}s_1(t), \hspace{0.15cm}s_1(t) \hspace{-0.1cm}>}$$

Es wird nun angenommen, dass aus den Signalen  $s_1(t)$, ... , $s_{k-1}(t)$  bereits die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_{n-1}(t)$  berechnet wurden  $(n \le k)$.

• Dann berechnen wir mittels der nächsten Funktion  $s_k(t)$  die Hilfsfunktion

$$\theta_k(t) = s_k(t) - \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj} \cdot \varphi_j(t) \hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm} s_{kj} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_k(t), \hspace{0.05cm}\varphi_j(t) \hspace{-0.1cm} >, \hspace{0.2cm} j = 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}, n-1\hspace{0.05cm}.$$

• Hat diese Hilfsfunktion die Norm   $||\theta_k(t)|| = 0$, so liefert  $s_k(t)$  keine neue Basisfunktion.  Vielmehr lässt sich dann  $s_k(t)$  durch die  $n-1$  bereits vorher gefundenen Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_{n-1}(t)$  ausdrücken:

$$s_k(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj}\cdot \varphi_j(t) \hspace{0.05cm}.$$

• Eine neue Basisfunktion  (nämlich die  $n$–te)  ergibt sich nur für den Fall  $||\theta_k(t)|| \ne 0$:

$$\varphi_n(t) = \frac{\theta_k(t)}{|| \theta_k(t)||} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \varphi_n(t) || = 1\hspace{0.05cm}.$$

Diese Prozedur wird solange fortgesetzt, bis alle  $M$  Signale berücksichtigt wurden.

• Danach hat man alle  $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  gefunden.
• Der Sonderfall  $N = M$  ergibt sich nur dann, wenn alle  $M$  Signale linear voneinander unabhängig sind.
  

$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten die  $M = 4$  energiebegrenzten Signale  $s_1(t)$, ... , $s_4(t)$  entsprechend der Grafik. Zur Vereinfachung der Berechnungen sind hier sowohl die Amplituden als auch die Zeit normiert.

Zum Gram-Schmidt-Verfahren

Man erkennt aus diesen Skizzen:

• Die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist formgleich mit  $s_1(t)$.  Wegen  $E_1 = \vert \vert s_1(t) \vert \vert ^2 = 3 \cdot 0.5^2 = 0.75$  ergibt sich  $s_{11} = \vert \vert s_1(t) \vert \vert = 0.866$.  $\varphi_1(t)$  selbst besitzt abschnittsweise die Werte  $\pm 0.5/0.866 = \pm0.577$.

• Zur Berechnung der Hilfsfunktion  $\theta_2(t)$  berechnen wir

$$s_{21} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.05cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 0 \cdot (+0.577) + 1 \cdot (-0.577)+ 0 \cdot (-0.577)= -0.577$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = (0.333, \hspace{0.15cm} 0.667, \hspace{0.15cm} -0.333) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\vert \vert \theta_2(t) \vert \vert^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 + (-1/3)^2 = 0.667$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{22} = \sqrt{0.667} = 0.816,\hspace{0.3cm} \varphi_2(t) = \theta_2(t)/s_{22} = (0.408, \hspace{0.15cm} 0.816, \hspace{0.15cm} -0.408)\hspace{0.05cm}.$$

• Die inneren Produkte zwischen  $s_1(t)$  mit  $\varphi_1(t)$  bzw.  $\varphi_2(t)$  liefern folgende Ergebnisse:

$$s_{31} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_3(t), \hspace{0.07cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 0.5 \cdot (+0.577) + 0.5 \cdot (-0.577)- 0.5 \cdot (-0.577)= 0.289$$

$$s_{32} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_3(t), \hspace{0.07cm}\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 0.5 \cdot (+0.408) + 0.5 \cdot (+0.816)- 0.5 \cdot (-0.408)= 0.816$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_3(t) = s_3(t) - 0.289 \cdot \varphi_1(t)- 0.816 \cdot \varphi_2(t) = 0\hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet:   Die grüne Funktion  $s_3(t)$  liefert keine neue Basisfunktion  $\varphi_3(t)$, im Gegensatz zur Funktion  $s_4(t)$. Die numerischen Ergebnisse hierfür können der Grafik entnommen werden.

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Nummer  (1, ...)  der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

• Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
• Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

(1)  Verdeutlichen Sie sich die Entstehung des Augendiagramms für  $M=2 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$. Wählen Sie hierfür „Einzelschritt”.

•  Dieses Augendiagramm ergibt sich, wenn man das Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t)$  in Stücke der Dauer  $2T$  unterteilt und diese Teile übereinander zeichnet.
•  In  $d_{\rm S}(t)$  müssen alle „Fünf–Bit–Kombinationen” enthalten sein   ⇒   mindestens  $2^5 = 32$  Teilstücke   ⇒   maximal  $32$  unterscheidbare Linien.
•  Das Diagramm bewertet das Einschwingverhalten des Nutzsignals. Je größer die (normierte) Augenöffnung ist, desto weniger Impulsinterferenzen gibt es.

(2)  Gleiche Einstellung wie in  (1). Zusätzlich gilt  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$. Bewerten Sie die ausgegebenen Größen  $ö_{\rm norm}$,  $\sigma_{\rm norm}$  und  $p_{\rm U}$.

•  $ö_{\rm norm}= 0.542$  zeigt an, dass die Symboldetektion durch benachbarte Impulse beeinträchtigt wird. Für impulsinterferenzfreie Binärsysteme gilt  $ö_{\rm norm}= 1$.
•  Die Augenöffnung kennzeichnet nur das Nutzsignal. Der Rauscheinfluss wird durch  $\sigma_{\rm norm}= 0.184$  erfasst. Dieser Wert sollte möglichst klein sein.
•  Die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}(ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm}\approx 0.16\%)$  bezieht sich allein auf die „ungünstigsten Folgen”, bei „Gauß” z. B.  $-1, -1, +1, -1, -1$.
•  Andere Folgen werden weniger verfälscht   ⇒   die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  ist (meist) deutlich kleiner als $p_{\rm U}$  (beschreibt den „Worst Case”).

(3)  Die letzten Einstellungen bleiben. Mit welchem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$–Wert wird die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimal? Auch das Augendiagramm betrachten.

•  Der minimale Wert  $p_{\rm U, \ min} \approx 0.65 \cdot 10^{-4}$  ergibt sich für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.8$, und zwar nahezu unabhängig vom eingestellten  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$.
•  Der normierte Rauscheffektivwert steigt zwar gegenüber dem Versuch  (2)  von  $\sigma_{\rm norm}= 0.168$  auf  $\sigma_{\rm norm}= 0.238$  an.
•  Dies wird aber durch die größere Augenöffnung  $ö_{\rm norm}= 0.91$  gegenüber  $ö_{\rm norm}= 0.542$  mehr als ausgeglichen  $($Vergrößerungsfaktor $\approx 1.68)$.

(4)  Für welche Grenzfrequenzen  $(f_{\rm G}/R_{\rm B})$  ergibt sich eine völlig unzureichende Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 50\%$ ? Auch das Augendiagramm betrachten.

•  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.28$  ergibt sich ein geschlossenes Auge  $(ö_{\rm norm}= 0)$  und damit eine worst–case Fehlerwahrscheinlichkeit in der Größenordnung von  $50\%$.
•  Die Entscheidung über ungünstig eingerahmte Bit muss dann zufällig erfolgen, auch bei geringem Rauschen  $(10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 16 \ {\rm dB})$.

(5)  Wählen Sie nun die Einstellungen  $M=2 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  sowie „Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Der Detektionsgrundimpuls ist dreieckförmig und das Auge vollständig geöffnet. Die normierte Augenöffnung ist demzufolge  $ö_{\rm norm}= 1.$
•  Aus $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  folgt $E_{\rm B}/N_0 = 10$   ⇒   $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2\cdot E_{\rm B}/ N_0)} = \sqrt{0.05} \approx 0.224$  ⇒   $p_{\rm U} = {\rm Q}(4.47) \approx 3.9 \cdot 10^{-6}.$
•  Dieser Wert ist um den Faktor  $15$  besser als in (3).   Aber:  Bei  $H_{\rm K}(f) \ne 1$  ist der Matched-Filter-Empfänger so nicht anwendbar.

(6)  Gleiche Einstellung wie in  (5). Variieren Sie nun  $T_{\rm E}/T$  im Bereich zwischen  $0.5$  und  $1.5$. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Für  $T_{\rm E}/T < 1$  gilt weiterhin  $ö_{\rm norm}= 1$. Aber  $\sigma_{\rm norm}$  wird größer, zum Beispiel  $\sigma_{\rm norm} = 0.316$  für  $T_{\rm E}/T =0.5$   ⇒   das Filter ist zu breitbandig!
•  Für  $T_{\rm E}/T > 1$  ergibt sich im Vergleich zu  (5)  ein kleineres  $\sigma_{\rm norm}$. Aber Das Auge ist nicht mehr geöffnet.  $T_{\rm E}/T =1.25$:  $ö_{\rm norm}= g_0 - 2 \cdot g_1 = 0.6$.

(7)  Wählen Sie nun die Einstellungen  $M=2 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.2$  sowie „Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie das Augendiagramm, auch für andere  $r_f$–Werte.

•  Im Gegensatz zu  (6)  ist hier der Grundimpuls für  $|t|>T$  nicht Null, aber  $g_d(t)$  hat äquidistane Nulldurchgänge:  $g_0 = 1, \ g_1 = g_2 = 0$   ⇒   Nyquistsystem.
•  Alle  $32$  Augenlinien gehen bei  $t=0$  durch nur zwei Punkte. Die vertikale Augenöffnung ist für alle  $r_f$  maximal   ⇒    $ö_{\rm norm}= 1$.
•  Dagegen nimmt die horizontale Augenöffnung mit  $r_f$  zu und ist  $r_f = 1$  maximal gleich  $T$   ⇒   Phasenjitter hat in diesem Fall nur geringen Einfluss.

(8)  Gleiche Einstellung wie in  (7). Variieren Sie nun  $r_f$  im Hinblick auf minimale Fehlerwahrscheinlichkeit. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  $ö_{\rm norm}= 1$  gilt stets. Dagegen zeigt  $\sigma_{\rm norm}$  eine leichte Abhängigkeit von  $r_f$.  DasMinimum  $\sigma_{\rm norm}=0.236$  ergibt sich für  $r_f = 0.9$   ⇒   $p_{\rm U} \approx 1.1 \cdot 10^{-5}.$
•  Gegenüber dem bestmöglichen Fall gemäß  (7)  „Matched–Filter–Empfänger” ist  $p_{\rm U}$  dreimal so groß, obwohl  $\sigma_{\rm norm}$  nur um ca.  $5\%$  größer ist.
•  Der größere  $\sigma_{\rm norm}$–Wert geht auf die Überhöhung des Rausch–LDS zurück, um den Abfall durch den Sender–Frequenzgang  $H_{\rm S}(f)$  auszugleichen.

(9)  Wählen Sie die Einstellungen  $M=4 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  und  $12 \ {\rm dB}$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Es gibt nun drei Augenöffnungen. Gegenüber  (5)  ist also  $ö_{\rm norm}$  um den Faktor  $3$  kleiner,  $\sigma_{\rm norm}$  dagegen nur um etwa den Faktor  $\sqrt{5/9)} \approx 0.75$.
•  Für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  ergibt sich nun die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2.27\%$  und für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$  nur mehr  $0.59\%$.

(10)  Für die restlichen Aufgaben gelte stets  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Betrachten Sie das Augendiagramm für  $M=4 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.5$.

•  In  $d_{\rm S}(t)$  müssen alle „Fünf–Symbol–Kombinationen” enthalten sein   ⇒   mindestens  $4^5 = 1024$  Teilstücke   ⇒   maximal  $1024$  unterscheidbare Linien.
•  Alle  $1024$  Augenlinien gehen bei  $t=0$  durch nur vier Punkte:  $ö_{\rm norm}= 0.333$. $\sigma_{\rm norm} = 0.143$  ist etwas größer als in  (9)  ⇒   ebenso  $p_{\rm U} \approx 1\%$.

(11)  Wählen Sie die Einstellungen  $M=4 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  und variieren Sie  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$.   Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.48$  führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 0.21\%$.  Kompromiss zwischen  $ö_{\rm norm}= 0.312$  und  $\sigma_{\rm norm}= 0.109$.
•  Bei zu kleiner Grenzfrequenz dominieren die Impulsinterferenzen.  Beispiel:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 0.3$:  $ö_{\rm norm}= 0.157;$ $\sigma_{\rm norm}= 0.086$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 3.5\%$.
•  Bei zu großer Grenzfrequenz dominiert das Rauschen.  Beispiel:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 1.0$:  $ö_{\rm norm}= 0.333;$ $\sigma_{\rm norm}= 0.157$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 1.7\%$.
•  Aus dem Vergleich mit  (9)  erkennt man:  Bei Quaternärcodierung ist es günstiger, Impulsinterferenzen zuzulassen.

(12)  Welche Unterschiede zeigt das Auge für  $M=3 \text{ (AMI-Code), nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  gegenüber dem vergleichbaren Binärsystem? Interpretation.

•  Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  ist in beiden Fällen gleich. Die Abtastwerte sind jeweils  $g_0 = 0.771, \ g_1 = 0.114$.
•  Beim AMI–Code gibt es zwei Augenöffnungen mit je  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1) = 0.214$.  Beim Binärcode:  $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1 = 0.543$.
•  Die AMI–Folge besteht zu 50% aus Nullen. Die Symbole  $+1$  und  $-1$  wechseln sich ab   ⇒   es gibt keine lange  $+1$–Folge und keine lange  $-1$–Folge.
•  Darin liegt der einzige Vorteil des AMI–Codes:  Dieser kann auch bei einem gleichsignalfreien Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f= 0)=0$  angewendet werden.

(13)  Gleiche Einstellung wie in  (12), zudem  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Analysieren Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit des AMI–Codes.

•  Trotz kleinerem  $\sigma_{\rm norm} = 0.103$  hat der AMI–Code eine höhere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2\%$  als der Binärcode:  $\sigma_{\rm norm} = 0.146, \ p_{\rm U} \approx \cdot 10^{-4}.$
•  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.34$  ergibt sich ein geschlossenes Auge  $(ö_{\rm norm}= 0)$  ⇒    $p_{\rm U} =50\%$. Beim Binärcode:  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}>0.34$  ist das Auge geöffnet.

(14)  Welche Unterschiede zeigt das Auge für  $M=3 \text{ (Duobinärcode), nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.30$  gegenüber dem vergleichbaren Binärsystem?

•  Redundanzfreier Binärcode:  $ö_{\rm norm}= 0.096, \ \sigma_{\rm norm} = 0.116 \ p_{\rm U} \approx 20\%$       Duobinärcode:  $ö_{\rm norm}= 0.167, \ \sigma_{\rm norm} = 0.082 \ p_{\rm U} \approx 2\%$.
• Insbesondere bei kleinem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  liefert der Duobinärcode gute Ergebnisse, da die Übergänge von  $+1$  nach  $-1$  (und umgekehrt) im Auge fehlen.
• Selbst mit  $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.2$  ist das Auge noch geöffnet. Im Gegensatz zum AMI–Code  ist aber „Duobinär” bei gleichsignalfreiem Kanal nicht anwendbar.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Auswahl:   Codierung
                   (binär,  quaternär,  AMI–Code,  Duobinärcode)

    (B)     Auswahl:   Detektionsgrundimpuls
                    (nach Gauß–TP,  CRO–Nyquist,  nach Spalt–TP}

    (C)     Prametereingabe zu  (B)
                   (Grenzfrequenz,  Rolloff–Faktor,  Rechteckdauer)

    (D)     Steuerung der Augendiagrammdarstellung
                   (Start,  Pause/Weiter,  Einzelschritt,  Gesamt,  Reset)

    (E)     Geschwindigkeit der Augendiagrammdarstellung

    (F)     Darstellung:  Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$

    (G)     Darstellung:  Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t - \nu \cdot T)$

    (H)     Darstellung:  Augendiagramm im Bereich  $\pm T$

    ( I )     Numerikausgabe:  $ö_{\rm norm}$  (normierte Augenöffnung)

    (J)     Prametereingabe  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  für  (K)

    (K)     Numerikausgabe:  $\sigma_{\rm norm}$  (normierter Rauscheffektivwert)

    (L)     Numerikausgabe:  $p_{\rm U}$  (ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit)

    (M)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    (N)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    (O)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2008 von  Thomas Großer  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  Günter Söder).
• 2019 wurde das Programm von  Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  Tasnád Kernetzky).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  Studienzuschüsse  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Open Applet in a new tab