Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.1: DSB-AM with Cosine? Or with Sine?"
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− | *Bei positiven Frequenzen erhält man $S_+(f)$ aus $S(f)$ durch | + | *Bei positiven Frequenzen erhält man $S_+(f)$ aus $S(f)$ durch Verdoppelung. |
− | *Daraus folgt, dass die Impulsgewichte von $S(f)$ nur jeweils ${\rm j} · 1 \text{ V}$ | + | *Daraus folgt, dass die Impulsgewichte von $S(f)$ nur jeweils ${\rm j} · 1 \text{ V}$ sind. |
*Aufgrund des Zuordnungssatzes muss $S(f)$ eine ungerade Funktion sein. | *Aufgrund des Zuordnungssatzes muss $S(f)$ eine ungerade Funktion sein. | ||
− | *Deshalb besitzt $S(f)$ noch zwei weitere Diracfunktionen bei $f = -f_{30}$ und $f = -f_{50}$, jeweils mit dem Gewicht $-{\rm j} · 1 \text{ V}$: | + | *Deshalb besitzt $S(f)$ noch zwei weitere Diracfunktionen bei $f = -f_{30}$ und $f = -f_{50}$, jeweils mit dem Gewicht $-{\rm j} · 1 \text{ V}$: |
:$$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \big[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\big] \hspace{0.05cm}.$$ | :$$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \big[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\big] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | '''(2)''' Die Fourierrücktransformation von $S(f)$ führt | + | |
+ | '''(2)''' Die Fourierrücktransformation von $S(f)$ führt mit $($$ω_{30} = 2π · f_{30}$ und $ω_{50} = 2πf_{50})$ zu folgendem Signal: | ||
:$$ s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.$$ | :$$ s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.$$ | ||
Dieser enthält keinen Anteil bei der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$, so dass die <u>erste Aussage</u> zutrifft. | Dieser enthält keinen Anteil bei der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$, so dass die <u>erste Aussage</u> zutrifft. | ||
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− | '''(3)''' Bei ZSB–AM ohne Träger beinhaltet $s(t)$ nur die beiden Frequenzen $f_{\rm T} – f_{\rm N}$ und $f_{\rm T} + f_{\rm N}$. | + | '''(3)''' Bei ZSB–AM ohne Träger beinhaltet $s(t)$ nur die beiden Frequenzen $f_{\rm T} – f_{\rm N}$ und $f_{\rm T} + f_{\rm N}$. |
− | *Daraus folgt mit $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$ für die Nachrichtenfrequenz: $f_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 10\ \rm kHz}.$ | + | *Daraus folgt mit $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$ für die Nachrichtenfrequenz: $f_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 10\ \rm kHz}.$ |
Revision as of 16:00, 6 March 2020
Wir betrachten die Amplitudenmodulation des Quellensignals $q(t)$ mit dem Trägersignal $z(t)$. Diese Signale sind wie folgt gegeben:
- $$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$
- $$z(t) = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
Bekannt ist die Trägerfrequenz mit $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$. Die weiteren Systemparameter $A_{\rm N}$, $f_{\rm N}$, $ϕ_{\rm N}$ und $ϕ_{\rm T}$ sollen in dieser Aufgabe ermittelt werden.
Gegeben ist weiter das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ am Ausgang des Modulators. Dieses lautet (siehe Grafik):
- $$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei sind die Abkürzungen $f_{30} = 30\text{ kHz}$ und $f_{50} = 50\text{ kHz}$ verwendet.
Zur Erinnerung: Das Spektrum $S_+(f)$ erhält man aus $S(f)$, indem man
- die Anteile bei negativen Frequenzen abschneidet und
- bei positiven Frequenzen verdoppelt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Beschreibung im Frequenzbereich und Beschreibung im Zeitbereich.
- Gegeben sind folgende trigonometrischen Zusammenhänge:
- $$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) = {1}/{2} \cdot \big[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\big ] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}- \hspace{0.05cm} \alpha) = \sin(\alpha) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}+ \hspace{0.05cm} \alpha) = -\sin(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- Bei positiven Frequenzen erhält man $S_+(f)$ aus $S(f)$ durch Verdoppelung.
- Daraus folgt, dass die Impulsgewichte von $S(f)$ nur jeweils ${\rm j} · 1 \text{ V}$ sind.
- Aufgrund des Zuordnungssatzes muss $S(f)$ eine ungerade Funktion sein.
- Deshalb besitzt $S(f)$ noch zwei weitere Diracfunktionen bei $f = -f_{30}$ und $f = -f_{50}$, jeweils mit dem Gewicht $-{\rm j} · 1 \text{ V}$:
- $$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \big[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\big] \hspace{0.05cm}.$$
(2) Die Fourierrücktransformation von $S(f)$ führt mit $('"`UNIQ-MathJax19-QINU`"' s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.'"`UNIQ-MathJax20-QINU`"'s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T})'"`UNIQ-MathJax21-QINU`"'\Rightarrow \hspace{0.5cm} s(t) = \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \left[ \cos\left((\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}\right) + \cos\left((\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}\right) \right] \hspace{0.05cm}.'"`UNIQ-MathJax22-QINU`"'\cos(\omega_{\rm 30} \cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 30} \cdot t )\hspace{0.05cm},'"`UNIQ-MathJax23-QINU`"'\cos(\omega_{\rm 50} \cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 50} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.'"`UNIQ-MathJax24-QINU`"'q(t ) = 4\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm}, \hspace{1.0cm}z(t) = 1 \cdot \cos (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t + 90^{\circ}) = -\sin (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$