Aufgaben:Exercise 2.6: Free Space Attenuation

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Foto einer Sendeanlage

Ein gemäß dem Modulationsverfahren  „ZSB–AM mit Träger”  betriebener Kurzwellensender arbeitet mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 20 \ \rm MHz$  und der Sendeleistung  $P_{\rm S} = 100\ \rm kW$.  Er ist für eine Bandbreite von  $B_{\rm NF} = 8 \ \rm kHz$  ausgelegt.

Zum Testbetrieb wird ein mobiler Empfänger eingesetzt, der mit einem Synchrondemodulator arbeitet.  Befindet sich dieser in der Distanz  $d$  zum Sender, so kann die Dämpfungsfunktion des Übertragungskanals wie folgt angenähert werden:

$$\frac{a_{\rm K}(d, f)}{\rm dB} = 34 + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.2cm}\frac{d}{\rm km} + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.2cm}\frac{f}{\rm MHz} \hspace{0.05cm}.$$

Die Gleichung beschreibt die so genannte  Freiraumdämpfung, die auch von der (Träger-)Frequenz abhängt.

Man kann davon ausgehen, dass das gesamte ZSB–AM–Spektrum wie die Trägerfrequenz gedämpft wird.  Das bedeutet, dass

• die etwas größere Dämpfung des oberen Seitenbandes (OSB), bzw.
• die geringfügig kleinere Dämpfung des unteren Seitenbandes (USB)

durch eine entsprechende Vorverzerrung beim Sender ausgeglichen wird.

Die am Empfänger wirksame Rauschleistungsdichte sei  $N_0 = 10^{–14} \ \rm W/Hz.$

Für die beiden ersten Teilaufgaben wird vorausgesetzt, dass der Sender nur den Träger überträgt, was gleichbedeutend damit ist, dass der Modulationsgrad  $m = 0$  ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Synchrondemodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Sinken-SNR und Leistungskenngröße.

Fragebogen

1

Welche Leistung wird im Abstand  $d = 10 \ \rm km$  vom Sender empfangen, wenn nur der Träger abgestrahlt wird  $(m = 0)$?

$P_{\rm E} \ = \ $ $\ \rm mW$

2

In welcher Entfernung  $d$  vom Sender befindet sich der Empfänger, wenn die empfangene Leistung  $P_{\rm E} = 100 \ \rm µ W$ beträgt??

$d \ = \ $ $\ \rm km$

3

Welches Sinken–SNR ergibt sich bei der unter  (2)  berechneten Distanz  $d$, wenn der Modulationsgrad  $m = 0.5$  beträgt?

$10 · \lg ρ_v \ = \ $ $\ \text{dB}$

4

Wie groß muss der Modulationsgrad  $m$  mindestens gewählt werden, damit sich ein Sinken–Störabstand von  $60 \ \rm dB$  ergibt?

$m_{\min} \ = \ $

5

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	ZSB–AM mit Träger macht aus energetischen Gründen keinen Sinn, wenn ein Synchrondemodulator verwendet wird.
	ZSB–AM ohne Träger macht aus energetischen Gründen keinen Sinn, wenn ein Synchrondemodulator verwendet wird.
	Ein kleiner Trägeranteil kann für die erforderliche Frequenz– und Phasensynchronisation hilfreich sein.

Musterlösung

Solution

(1)  Entsprechend der Gleichung für die Freiraumdämpfung gilt mit $d = 10\ \rm km$ und $f_{\rm T} = 20 \ \rm MHz$:

$$\frac{a_{\rm K}(d, f_{\rm T})}{\rm dB} = 34 + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\frac{d}{\rm km} + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\frac{f_{\rm T}}{\rm MHz}= 34 + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}(10) + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}(20)\approx 80\hspace{0.1cm}{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

Dies entspricht einer Leistungsverminderung um den Faktor $10^{8}$:

$$P_{\rm E}= 10^{-8} \cdot P_{\rm S}= 10^{-8} \cdot 100\,{\rm kW}\hspace{0.15cm}\underline {= 1\, {\rm mW} \hspace{0.05cm}}.$$

(2)  Aus $P_{\rm S} = 10^5 \ \rm W$, $P_{\rm E} = 10{^–4}\ \rm W$ folgt eine Freiraumdämpfung von $90 \ \rm dB$. Daraus erhält man weiter:

$$20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\frac{d}{\rm km} = ( 90-34 - 26)\hspace{0.1cm}{\rm dB}= 30\,{\rm dB}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d = 10^{1.5}\,{\rm km}\hspace{0.15cm}\underline { = 31.6\,{\rm km}\hspace{0.05cm}}.$$

(3)  Bei ZSB–AM ohne Träger, das heißt für den Modulationsgrad $m → ∞$, würde gelten:

$$ \rho_{v } = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{{N_0} \cdot B_{\rm NF}} = \frac{ P_{\rm E}}{{N_0} \cdot B_{\rm NF}}= \frac{10^{-4}\,{\rm W}}{10^{-14}\,{\rm W/Hz}\cdot 8 \cdot 10^{3}\,{\rm Hz} } = 1.25 \cdot 10^6\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } \approx 61\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Mit dem Modulationsgrad $m = 0.5$ wird das Sinken–SNR um den Faktor $[1 +{2}/{m^2}]^{-1} = {1}/{9}$ kleiner. Der Sinken–Störabstand ist somit ebenfalls geringer:

$$ 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } = 61\,{\rm dB}- 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}(9) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 51.5\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}}.$$

(4)  Entsprechend den Berechnungen zur Teilaufgabe (3) muss nun folgende Bedingung erfüllt sein:

$$ 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\left({1 + {2}/{m^2}}\right) < 1\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 1 +{2}/{m^2} < 10^{0.1}=1.259 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{2}/{m^2} < 0.259 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m > \sqrt{8}\approx 2.83 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.83} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Richtig sind die Vorschläge 1 und 3:

• Bei Verwendung eines Synchrondemodulators macht die Zusetzung des Trägers keinen Sinn, außer, dieser ist für die erforderliche Trägerrückgewinnung nützlich.
• Da der Träger zur Demodulation nicht genutzt werden kann, steht nur ein Bruchteil der Sendeleistung für die Demodulation zur Verfügung (ein Drittel bei $m = 1$, ein Neuntel bei $m = 0.5$).