Aufgaben:Exercise 3.3: Sum of two Oscillations

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Zwei verschiedene Besselspektren

Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet bei Normierung auf die Trägeramplitude  $(A_{\rm T} = 1)$: 

$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$

Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu  $K_{\rm PM} = \rm 1/V$  angenommen.

Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion  $B_1(f)$, wenn das Quellensignal

$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$

anliegt.  Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit  $η_1 = 0.9$  wie folgt:

$${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm} {\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$

$${\rm J}_2 (0.9) = 0.095 \approx 0.1,\hspace{1cm} {\rm J}_3 (0.9) \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx\ \text{ ...} \ \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte.

Die Besselfunktion  $B_2(f)$  ergibt sich für das Quellensignal

$$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$

Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man hier aus folgender Angabe:

$${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$

Aus der Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals  $q_2(t)$  und des cosinusförmigen Trägersignals  $z(t)$  die Spektrallinien bei  $±3 \ \rm kHz$  jeweils positiv–imaginär sind.

Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal

$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$

am Eingang des Phasenmodulators anliegt.

• Zu erwähnen ist, dass  $|q(t)| < q_{\rm max} = 1.45 \ \rm V$  gilt.
• Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe  $A_1 + A_2$  der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden.

Im Fragebogen bezeichnen

• $S_{\rm TP}(f)$  die Spektralfunktion des äquivalenten Tiefpass–Signals,
• $S_+(f)$  die Spektralfunktionen des analytischem Signals,

jeweils unter der Annahme, dass  $q(t) = q_1(t) + q_2(t)$  anliegt und die Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$  beträgt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Phasenmodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation.
• Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.
• Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet  Besselfunktion erster Art  benutzen.

Fragebogen

1

Es gelte  $q(t) = q_1(t)+q_2(t)$.  Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve  $s_{\rm TP}(t)$?

	Die Ortskurve ist eine Ellipse.
	Die Ortskurve ist ein Kreis.
	Die Ortskurve ist näherungsweise ein Halbkreis.
	Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel  $90^\circ$.

2

Berechnen Sie die Spektralfunktion  $S_{\rm TP}(f)$.  Zwischen welchen Frequenzen  $f_{\rm min}$  und  $f_{\rm max}$  liegen Spektrallinien?

$f_{\rm min} \ = \ $ $\ \rm kHz$

$f_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm kHz$

3

Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei  $f = 0$.

${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $

4

Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei  $f = 1\ \rm kHz$.

${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)\big] \ = \ $

5

Berechnen Sie das Gewicht der  $S_+(f)$–Diracfunktion bei  $f = 98 \ \rm kHz$.

${\rm Re}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm kHz)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm kHz)\big] \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist die dritte Antwort:

• Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger  $s_{\rm TP}(t)$  stets auf einem Kreisbogen mit folgendem Öffnungswinkel:

$$2 · K_{\rm PM} · q_{\rm max} = 2 \cdot {\rm 1/V} \cdot 1.45 \ \rm V = 2.9 \ \rm rad \approx 166^\circ.$$

• Mit der (zugegebenermaßen sehr groben) Näherung  $166^\circ \approx 180^\circ$  ergibt sich tatsächlich ein Halbkreis.

(2)  Es gilt allgemein  $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$.

• Da  $B_1(f)$  auf Frequenzen  $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$  und  $B_2(f)$  auf den Bereich  $±3 \ \rm kHz$  begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf  $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$  beschränkt.
• Daraus folgt:

$$f_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= -5 \ \rm kHz},$$

$$f_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {=+5 \ \rm kHz}.$$

(3)  Das Faltungsprodukt für die Frequenz  $f = 0$  ergibt sich durch Multiplikation von  $B_1(f)$  mit  $B_2(f)$  und anschließender Summation.

• Nur für  $f = 0$  sind sowohl  $B_1(f)$  als auch  $B_2(f)$  von Null verschieden.
• Damit erhält man:

$$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von  $B_2(f)$  nach rechts – oder von  $B_1(f)$  nach links – um  $1 \ \rm kHz$  erfolgen.  Somit erhält man:

$$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz}) + B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0) = 0.1 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 + 0.4 \cdot 0.9\hspace{0.15cm} = 0.36 + {\rm j} \cdot 0.03$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.36} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.03} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Die Diraclinie  $S_+(f = 98 \ \rm kHz)$  entspricht der  $S_{\rm TP}(f)$–Linie bei  $f = -2 \ \rm kHz$.  Diese ist

$$S_{\rm TP}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -2\,{\rm kHz}) \hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0) + B_{1}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -3\,{\rm kHz})= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12} \hspace{0.05cm}.$$