Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.6Z: Comparison of Rayleigh and Rice"

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{{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente}}
  
[[File:P_ID2135__Mob_Z_1_6.png|right|frame|Phasendiagramm des Faktors&nbsp; $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; <br>bei Rayleigh und Rice]]
+
In this task <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> and <i>Rice&ndash;Fading</i> are to be compared with each other.
In dieser Aufgabe sollen <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> und <i>Rice&ndash;Fading</i> miteinander verglichen werden.
 
  
Die Grafik zeigt den komplexen Faktor&nbsp; $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene. Für das Tiefpass&ndash;Sendesignal&nbsp; $s(t) = 1$, was bezüglich eines Bandpass&ndash;Systems einer Cosinusschwingung mit der Amplitude&nbsp; $1$&nbsp; entspricht, ist das Tiefpass&ndash;Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; identisch mit&nbsp; $z(t)$.  
+
The graphic shows the complex factor&nbsp; $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; in the complex plane For the low-pass&ndash;transmit signal&nbsp; $s(t) = 1$, which with respect to a bandpass&ndash;system corresponds to a cosine oscillation with amplitude&nbsp; $1$&nbsp; the low-pass&ndash;receive signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; is identical to&nbsp; $z(t)$.  
  
*Das obere Diagramm beschreibt&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Beispielhafte_Signalverl.C3.A4ufe_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading| Rayleigh&ndash;Fading]], wobei die Komponentensignale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; jeweils gaußverteilt sind mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2$. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Betrags&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; lautet für&nbsp; $a &#8805; 0$:
+
*The upper diagram describes&nbsp; [[Mobile_Communication/Probability_density_of_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Example_signal_reference.C3.A4ufe_bei_Rayleigh.E2.80. 93Fading| Rayleigh&ndash;Fading]], where the component signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; and&nbsp; $y(t)$&nbsp; are each Gaussian distributed with the variance&nbsp; $\sigma^2$. The probability density function of the amount&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; is for&nbsp; $a &#8805; 0$:
:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 }{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 }{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$
  
:Der quadratische Erwartungswert von&nbsp; $z(t)$&nbsp; ist &nbsp;$1$:
+
:The square expectation value of&nbsp; $z(t)$&nbsp; is &nbsp;$1$:
:$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \sigma^2 = 1 \hspace{0.3cm}
+
$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \sigma^2 = 1 \hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}
     \sigma = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707
+
     \sigma = {1}/{\sqrt{2} \approx 0.707
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
*Das untere Phasendiagramm entsteht bei&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente#Beispielhafte_Signalverl.C3.A4ufe_bei_Rice.E2.80.93Fading|Rice&ndash;Fading]]. Auch hier sind&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; gaußverteilt mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2$, aber nun mit Mittelwert&nbsp; $x_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $y_0$. Die WDF lautet mit der modifizierten Besselfunktion&nbsp; ${\rm I}_0$&nbsp; für&nbsp; $a &#8805; 0$:
+
*The lower phase diagram is created at&nbsp; [[Mobile_Communication/Non-Frequency-Selective_Fading_with_Direct Component#Example_Signal_Verl.C3.A4ufe_bei_Rice.E2.80.93Fading|Rice&ndash;Fading]]. Here, too, are&nbsp; $x(t)$&nbsp; and&nbsp; $y(t)$&nbsp; gaussian distributed with the variance&nbsp; $\sigma^2$, but now with mean value&nbsp; $x_0$&nbsp; and&nbsp; $y_0$. The WDF with the modified Bessel function&nbsp; ${\rm I}_0$&nbsp; for&nbsp; $a &#8805; 0$:
 
:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} \left[ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}\right] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} \left[ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}\right] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
  
:Der quadratische Mittelwert beinhaltet nun auch die Direktkomponente&nbsp; $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$:
+
:The root mean square now includes the direct component&nbsp; $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$
:$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \cdot \sigma^2 + |z_0|^2 \hspace{0.05cm}.$$
+
$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \cdot \sigma^2 + |z_0|^2 \hspace{0.05cm}.$$
  
Für den Systemvergleich
+
For the system comparison
* ist von konstantem&nbsp; ${\rm E}\big[|z(t)|^2\big] = 1$&nbsp; auszugehen,
+
* is assumed to be constant&nbsp; ${\rm E}\big[|z(t)|^2\big] = 1$&nbsp;,
* wird beim <i>Rice&ndash;Fading</i> von der aus der Grafik erkennbaren Vorzugsrichtung ausgegangen,  
+
* the <i>Rice&ndash;Fading</i> is based on the preferred direction as shown in the graphic,  
* sei die Leistung zwischen dem Direktpfad&nbsp; $(|z_0|^2)$&nbsp; und den Streupfaden &nbsp;$(2\sigma^2)$&nbsp; im Verhältnis &nbsp;$4:1$&nbsp; aufgeteilt.
+
* let the power be split between the direct path&nbsp; $(|z_0|^2)$&nbsp; and the scattering paths &nbsp;$(2\sigma^2)$&nbsp; in the ratio &nbsp;$4:1$&nbsp;.
  
  
Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' gelte&nbsp; $s(t) = 1$, während in den Teilaufgaben '''(5)''' bzw. '''(6)''' ein BPSK&ndash;Signal vorausgesetzt wird. Das Tiefpass&ndash;Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; hat somit einen rechteckförmigen Verlauf mit den möglichen Werten&nbsp; $&plusmn;1$. Die Dauer eines Rechteckimpulses sei&nbsp; $T = 10 \ \rm ms$.
+
For the subtasks '''(1)''' to '''(4)''', &nbsp; $s(t) = 1$, while a BPSK&ndash;signal is assumed in the subtasks '''(5)'' or '''(6)'''. The low pass&ndash;signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; thus has a rectangular shape with the possible values&nbsp; $&plusmn;1$. The duration of a rectangular pulse is&nbsp; $T = 10 \ \rm ms$.
  
  
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''Hinweise:''
+
''Notes:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente| Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente]].
+
* The task belongs to chapter&nbsp; [[Mobile_Communication/Non-Frequency Selective_Fading_with_Direct Component| Non-Frequency Selective Fading with Direct Component]].
* Die in der Grafik eingezeichneten Kreise (violett und grün) beziehen sich auf die Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)'''.
+
* The circles drawn in the graphic (violet and green) refer to the subtasks '''(3)'' and '''(4)''.
 
   
 
   
  
  
  
===Fragebogen===
+
===Questionnaire===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie ergibt sich aus dem Rice&ndash;Modell ein idealer Kanal &nbsp; &#8658; &nbsp; $H(f) = 1$?
+
{How does the Rice&ndash;model result in an ideal channel &nbsp; &#8658; &nbsp; $H(f) = 1$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Mit&nbsp; $x_0 = y_0 = 0, \ \ \sigma^2 = 1$.
+
- With&nbsp; $x_0 = y_0 = 0, \ \ \sigma^2 = 1$.
+ Mit&nbsp; $x_0 = 1, \ \ y_0 = 0, \ \ \sigma^2 = 0$.
+
+ With&nbsp; $x_0 = 1, \ \ y_0 = 0, \ \ \ \sigma^2 = 0$.
- Mit&nbsp; $x_0 = 0, \ \ y_0 = 1, \ \ \sigma^2 = 0$.
+
- With&nbsp; $x_0 = 0, \ \ \ y_0 = 1, \ \ \ \sigma^2 = 0$.
  
{Ermitteln Sie aus der komplexen&nbsp; $z(t)$&ndash;Darstellung auf der Angabenseite die verwendeten Rice&ndash;Parameter.
+
{Determine the Rice&ndash;parameters used from the complex&nbsp; $z(t)$&ndash;display on the details page.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$\sigma \ = \ $ { 0.316 3% }
 
$\sigma \ = \ $ { 0.316 3% }
Line 56: Line 55:
 
$y_0 \ = \ $ { 0.632 3% }
 
$y_0 \ = \ $ { 0.632 3% }
  
{Bei welchem Kanal wird&nbsp; ${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; -6 \ \rm dB)$&nbsp; größer sein?
+
{What channel is&nbsp; ${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; -6 \ \ \rm dB)$&nbsp; be bigger?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
+ Beim vorliegenden Rayleigh&ndash;Kanal.
+
+ On the present Rayleigh &ndash;channel
- Beim vorliegenden Rice&ndash;Kanal.
+
- In the case of this Rice&ndash;channel.
- Die Wahrscheinlichkeiten sind näherungsweise gleich.
+
- The probabilities are approximately equal.
  
{Bei welchem Kanal wird&nbsp; ${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; 0 \ \rm dB)$&nbsp; größer sein?
+
{Which channel is used? Example: ${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; 0 \ \ \rm dB)$&nbsp; be bigger?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
- Beim vorliegenden Rayleigh&ndash;Kanal.
+
- On the present Rayleigh&ndash;channel
- Beim vorliegenden Rice&ndash;Kanal.
+
- In the case of this Rice&ndash;channel.
+ Die Wahrscheinlichkeiten sind näherungsweise gleich.
+
+ The probabilities are approximately the same.
  
{Welche Aussagen treffen für ein BPSK&ndash;Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; zu, wenn man die komplexe Darstellung des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; betrachtet?
+
{Which statements apply to a BPSK&ndash;transmit signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; when considering the complex representation of the receive signal&nbsp; $r(t)$&nbsp;?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Rayleigh&ndash;Fading bewirkt Punktwolken in Quadrant &nbsp;$1$&nbsp; und &nbsp;$3$.
+
- Rayleigh&ndash;Fading causes point clouds in quadrant &nbsp;$1$&nbsp; and &nbsp;$3$.
+ Rice&ndash;Fading bewirkt Punktwolken in Quadrant &nbsp;$1$&nbsp; und &nbsp;$3$.
+
+ Rice&ndash;Fading will cause point clouds in quadrant &nbsp;$1$&nbsp; and &nbsp;$3$.
+ Bei Rayleigh ist die WDF von&nbsp; $|r(t)|$&nbsp; gleich der WDF von&nbsp; $|z(t)|$.
+
+ For Rayleigh, the WDF of&nbsp; $|r(t)|$&nbsp; is equal to the WDF of&nbsp; $|z(t)|$.
- Bei Rice ist die WDF von&nbsp; $|r(t)|$&nbsp; gleich der WDF von&nbsp; $|z(t)|$.
+
- For Rice, the WDF of&nbsp; $|r(t)|$&nbsp; is equal to the WDF of&nbsp; $|z(t)|$.
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Sample solution===
{{ML-Kopf}}
+
{{{ML Head}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:  
+
'''(1)'''&nbsp; Correct is the <u>solution 2</u>:  
*Der erste Vorschlag liefert ein <i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&ndash;Modell. Mit der letzten Einstellung ergäbe sich:
+
*The first suggestion returns a <i>Rayleigh&ndash;fading</i>&ndash;model. With the last setting the result would be
 
:$$|z(t)| = {\rm j}  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t) \cdot z(t) = {\rm j} \cdot s(t)  
 
:$$|z(t)| = {\rm j}  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t) \cdot z(t) = {\rm j} \cdot s(t)  
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
*Berücksichtigen wir, dass wir uns im äquivalenten Tiefpassbereich befinden, so würde dann bei einem cosinusförmigen Eingang ein minus&ndash;sinusförmiges Ausgangssignal $r_{\rm BP}(t)$ auftreten.  
+
*If we take into account that we are in the equivalent low-pass range, then a cosine input would produce a minus&ndash;sinusoidal output signal $r_{\rm BP}(t)$.  
*Dagegen gilt mit dem Lösungsvorschlag 2 für alle möglichen Signale:
+
*On the other hand, solution 2 applies to all possible signals:
:$$|z(t)| = x_0 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t)   
+
$$|z(t)| = x_0 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t)   
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Beim gegebenem <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> beträgt der Parameter $\sigma^2 = 0.5$. Damit ergibt sich für den quadratischen Mittelwert des multiplikativen Faktors $z(t)$:
+
'''(2)'''&nbsp; For the given <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> the parameter $\sigma^2 = 0.5$. This results in $z(t)$ for the quadratic mean of the multiplicative factor:
:$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \sigma^2 = 1  
+
$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \sigma^2 = 1  
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
Das <i>Rice&ndash;Fading</i> soll genau die gleiche Leistung besitzen. Das heißt, es soll gelten:
+
The <i>Rice&ndash;Fading</i> should have exactly the same performance. That is, it should apply:
:$$|z_0|^2 + 2 \sigma^2 = 1  
+
$$|z_0|^2 + 2 \sigma^2 = 1  
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
Weiterhin wurde gefordert:
+
Furthermore, it was requested:
* Das Verhältnis der Leistungen von deterministischen Anteil ($|z_0|^2$) und stochastischem Anteil ($2\sigma^2$) sei $4$. Daraus folgt:
+
* The ratio of the power of the deterministic part ($|z_0|^2$) and the stochastic part ($2\sigma^2$) is $4$. It follows from this:
:$$2 \sigma^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma^2 = 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}    \sigma = \frac{1}{\sqrt{10}} \hspace{0.25cm} \underline{ \approx 0.316} \hspace{0.05cm},$$
+
:$$2 \sigma^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma^2 = 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}    \sigma = \frac{1}{\sqrt{10}} \hspace{0.25cm} \underline{ \approx 0.316} \hspace{0.05cm},$$
 
:$$|z_0|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} |z_0| = 0.894
 
:$$|z_0|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} |z_0| = 0.894
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
* Die Aufteilung von $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$ ergibt sich aus der Grafik. Man erkennt, dass $y_0 = x_0$ sein muss (Mittelpunkt der Wolke im ersten Quadranten unter $45^\circ$):
+
* The division of $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$ results from the graph. You can see that $y_0 = x_0$ (center of the cloud in the first quadrant below $45^\circ$):
:$$x_0 = y_0 = \frac{|z_0|}{\sqrt{2}} = \frac{0.894}{\sqrt{2}} \hspace{0.25cm} \underline{ \approx 0.632} \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$x_0 = y_0 = \frac{|z_0|}{\sqrt{2}}} = \frac{0.894}{\sqrt{2}} \hspace{0.25cm} \underline{ \approx 0.632} \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(3)'''&nbsp; Der Bereich &bdquo;$20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; \, &ndash;6 \ \rm dB$&rdquo; ist gleich bedeutend mit &bdquo;$|z(t)|&#8804;0.5$&rdquo;.  
+
'''(3)'''&nbsp; The range &bdquo;$20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; \, &ndash;6 \ \ \rm dB$&rdquo; is equal to &bdquo;$|z(t)|&#8804;0.5$&rdquo;.  
*Dieser Bereich ist in der Grafik auf der Angabenseite durch den violetten Kreis markiert.  
+
*This area is marked by the purple circle in the graph on the specifications page.  
*Man erkennt daraus, dass die <u>Aussage 1 richtig</u> ist, da sich bei Rayleigh mehr Punkte innerhalb des violetten Kreises befinden.
+
*You can see from this that the <u>statement 1 is correct</u>, because with Rayleigh there are more points within the violet circle.
  
  
[[File:P_ID2136__Mob_Z_1_6c.png|right|frame|Signalausschnitt und WDF $f_a(a)$ bei Rayleigh und Rice]]
+
[[File:P_ID2136__Mob_Z_1_6c.png|right|frame|Signal Section and WDF $f_a(a)$ for Rayleigh and Rice]]
  
Diese Grafik zeigt das Ergebnis einer Systemsimulation mit dem Programm &bdquo;Mobilfunkkanal&rdquo; aus dem (früheren) Praktikum &bdquo;Simulation digitaler Übertragungssysteme&rdquo;.  
+
This graphic shows the result of a system simulation with the program &bdquo;Mobile radio channel&rdquo; from the (former) practical course &bdquo;Simulation of digital transmission systems&rdquo;.  
*Sowohl aus dem Signalausschnitt als auch aus der WDF erkennt man, dass die blaue Kurve (Rayleigh) mehr Anteile unter der violetten Kurve besitzt als die rote Kurve (Rice).
+
*Both from the signal section as well as from the WDF one can see that the blue curve (Rayleigh) has more parts under the violet curve than the red curve (Rice).
 
<br clear=all>
 
<br clear=all>
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 3</u>:  
+
'''(4)'''&nbsp; Correct is <u>solution 3</u>:  
*Für die Rayleighverteilung ergibt sich die Wahrscheinlichkeit
+
*For the Rayleigh distribution the probability
:$${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} a(t) \le 0\,\,{\rm dB}) = {\rm Pr}(a(t) \le 1) =   1 - {\rm e}^{-1} \approx 63\,\,\%
+
$$${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} a(t) \le 0\,\,{\rm dB}) = {\rm Pr}(a(t) \le 1) = 1 - {\rm e}^{-1} \approx 63\,\,\
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
*Aus der Grafik erahnt man, dass sich für die Riceverteilung (mit den gewählten Parametern) etwa die gleiche Unterschreitungswahrscheinlichkeit ergibt.  
+
*From the graph you can see that the probability for the riceversion (with the selected parameters) is about the same as the probability of falling below.  
*Auch aus der komplexen Darstellung von $z(t)$ auf der Angabenseite ist dieses Ergebnis zu erahnen (leichter dann, wenn man das Ergebnis schon kennt).
+
*This result can also be guessed from the complex representation of $z(t)$ on the data page (easier if you already know the result).
* Unter anderem deshalb, weil die Spitze der Gaußwolke noch innerhalb des grünen Kreises liegt.
+
* Among other things, because the tip of the Gaussian cloud is still within the green circle.
 
 
 
 
[[File:P_ID2137__Mob_Z_1_6e.png|right|frame|Komplexes Empfangssignal $r(t)$ bei Rayleigh und Rice]]
 
'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 
* Bei <i>Rice&ndash;Fading</i> liegt die Punktwolke von $z(t)$ im ersten Quadranten. Multipliziert man $z(t)$ mit $s(t) = &plusmn;1$, so erhält man zwei Punktwolken im ersten und dritten Quadranten. An der WDF $f_a(a)$ des Betrags ändert sich dadurch nichts.
 
* Auch beim <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> weisen die Dichtefunktionen $f_a(a)$ des Betrags für $|z(t)|$ und $|r(t)|$ keine Unterschiede auf. Da zudem die Phase $\phi$ gleichverteilt ist, ergeben sich im Endergebnis auch gleiche Punktwolken.
 
*Betrachtet man allerdings die Entstehung der komplexen Darstellung von $z(t)$ und $r(t)$ dynamisch, so gibt es sehr wohl Unterschiede.
 
*Bei der komplexen Darstellung von $r(t)$ treten größere Sprünge auf, immer dann, wenn es im Sendesignal $s(t)$ zu Phasensprüngen um $&plusmn;180^\circ$ kommt, also bei Symbolwechseln.
 
*Somit unterscheiden sich bei Rice&ndash;Fading auch ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$ und ${\it \Phi}_r(f_{\rm D})$ &ndash; letzteres ist breiter &ndash; und dementsprechend auch die zugehörigen Autokorrelationsfunktion.
 
  
  
 +
[[File:P_ID2137__Mob_Z_1_6e.png|right|frame|Complex receive signal $r(t)$ for Rayleigh and Rice]]
 +
'''(5)''''&nbsp; Correct are the <u>solution proposals 2 and 3</u>:
 +
* At <i>Rice&ndash;Fading</i> the point cloud of $z(t)$ is in the first quadrant. If you multiply $z(t)$ by $s(t) = &plusmn;1$, you get two point clouds in the first and third quadrant. This does not change the WDF $f_a(a)$ of the amount.
 +
* Even with <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> the density functions $f_a(a)$ of the amount for $|z(t)|$ and $|r(t)|$ do not show any differences. Since the phase $\phi$ is equally distributed, the final result also has the same point clouds.
 +
*However, if you look at the development of the complex representation of $z(t)$ and $r(t)$ dynamically, there are indeed differences.
 +
*Larger jumps occur in the complex representation of $r(t)$, whenever there are phase jumps by $&plusmn;180^\circ$ in the transmitted signal $s(t)$, i.e. when changing symbols.
 +
*Thus, ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$ and ${\it \Phi}_r(f_{\rm D})$ &ndash are different for Rice&ndash;Fading; the latter is wider &ndash; and accordingly the corresponding autocorrelation function.
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
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Translated with www.DeepL.com/Translator (free version)
  
  
 
[[Category:Exercises for Mobile Communications|^1.4 Fading with Direct Path Component^]]
 
[[Category:Exercises for Mobile Communications|^1.4 Fading with Direct Path Component^]]

Revision as of 15:38, 14 April 2020

In this task Rayleigh–Fading and Rice–Fading are to be compared with each other.

The graphic shows the complex factor  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$  in the complex plane For the low-pass–transmit signal  $s(t) = 1$, which with respect to a bandpass–system corresponds to a cosine oscillation with amplitude  $1$  the low-pass–receive signal  $r(t)$  is identical to  $z(t)$.

  • The upper diagram describes  Rayleigh–Fading, where the component signals  $x(t)$  and  $y(t)$  are each Gaussian distributed with the variance  $\sigma^2$. The probability density function of the amount  $a(t) = |z(t)|$  is for  $a ≥ 0$:
$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 }{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$ :The square expectation value of  $z(t)$  is  $1$: $${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \sigma^2 = 1 \hspace{0.3cm}

\Rightarrow \hspace{0.3cm}

   \sigma = {1}/{\sqrt{2} \approx 0.707
  \hspace{0.05cm}.$$

*The lower phase diagram is created at  [[Mobile_Communication/Non-Frequency-Selective_Fading_with_Direct Component#Example_Signal_Verl.C3.A4ufe_bei_Rice.E2.80.93Fading|Rice–Fading]]. Here, too, are  $x(t)$  and  $y(t)$  gaussian distributed with the variance  $\sigma^2$, but now with mean value  $x_0$  and  $y_0$. The WDF with the modified Bessel function  ${\rm I}_0$  for  $a ≥ 0$:
:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} \left[ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}\right] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.$$

:The root mean square now includes the direct component  $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$
$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \cdot \sigma^2 + |z_0|^2 \hspace{0.05cm}.$$

For the system comparison
* is assumed to be constant  ${\rm E}\big[|z(t)|^2\big] = 1$ ,
* the <i>Rice–Fading</i> is based on the preferred direction as shown in the graphic, 
* let the power be split between the direct path  $(|z_0|^2)$  and the scattering paths  $(2\sigma^2)$  in the ratio  $4:1$ .


For the subtasks '''(1)''' to '''(4)''',   $s(t) = 1$, while a BPSK–signal is assumed in the subtasks '''(5)'' or '''(6)'''. The low pass–signal  $s(t)$  thus has a rectangular shape with the possible values  $±1$. The duration of a rectangular pulse is  $T = 10 \ \rm ms$.







''Notes:''
* The task belongs to chapter  [[Mobile_Communication/Non-Frequency Selective_Fading_with_Direct Component| Non-Frequency Selective Fading with Direct Component]].
* The circles drawn in the graphic (violet and green) refer to the subtasks '''(3)'' and '''(4)''.
 



==='"`UNIQ--h-0--QINU`"'Questionnaire===
'"`UNIQ--quiz-00000002-QINU`"'

==='"`UNIQ--h-1--QINU`"'Sample solution===
{[[:Template:ML Head]]
'''(1)'''  Correct is the <u>solution 2</u>: 
*The first suggestion returns a <i>Rayleigh–fading</i>–model. With the last setting the result would be
:$$|z(t)| = {\rm j}  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t) \cdot z(t) = {\rm j} \cdot s(t) 
  \hspace{0.05cm}.$$

*If we take into account that we are in the equivalent low-pass range, then a cosine input would produce a minus–sinusoidal output signal $r_{\rm BP}(t)$. 
*On the other hand, solution 2 applies to all possible signals:
$$|z(t)| = x_0 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t)  
  \hspace{0.05cm}.$$


'''(2)'''  For the given <i>Rayleigh–Fading</i> the parameter $\sigma^2 = 0.5$. This results in $z(t)$ for the quadratic mean of the multiplicative factor:
$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \sigma^2 = 1 
  \hspace{0.05cm}.$$

The <i>Rice–Fading</i> should have exactly the same performance. That is, it should apply:
$$|z_0|^2 + 2 \sigma^2 = 1 
  \hspace{0.05cm}.$$

Furthermore, it was requested:
* The ratio of the power of the deterministic part ($|z_0|^2$) and the stochastic part ($2\sigma^2$) is $4$. It follows from this:
:$$2 \sigma^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma^2 = 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}     \sigma = \frac{1}{\sqrt{10}} \hspace{0.25cm} \underline{ \approx 0.316} \hspace{0.05cm},$$
:$$|z_0|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} |z_0| = 0.894
  \hspace{0.05cm}.$$
* The division of $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$ results from the graph. You can see that $y_0 = x_0$ (center of the cloud in the first quadrant below $45^\circ$):
:$$x_0 = y_0 = \frac{|z_0|}{\sqrt{2}}} = \frac{0.894}{\sqrt{2}} \hspace{0.25cm} \underline{ \approx 0.632} \hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''  The range „$20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| ≤ \, –6 \ \ \rm dB$” is equal to „$|z(t)|≤0.5$”. 
*This area is marked by the purple circle in the graph on the specifications page. 
*You can see from this that the <u>statement 1 is correct</u>, because with Rayleigh there are more points within the violet circle.


[[File:P_ID2136__Mob_Z_1_6c.png|right|frame|Signal Section and WDF $f_a(a)$ for Rayleigh and Rice]]

This graphic shows the result of a system simulation with the program „Mobile radio channel” from the (former) practical course „Simulation of digital transmission systems”. 
*Both from the signal section as well as from the WDF one can see that the blue curve (Rayleigh) has more parts under the violet curve than the red curve (Rice).
<br clear="all">
'''(4)'''  Correct is <u>solution 3</u>: 
*For the Rayleigh distribution the probability
$$${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} a(t) \le 0\,\,{\rm dB}) = {\rm Pr}(a(t) \le 1) = 1 - {\rm e}^{-1} \approx 63\,\,\
  \hspace{0.05cm}.$$

*From the graph you can see that the probability for the riceversion (with the selected parameters) is about the same as the probability of falling below. 
*This result can also be guessed from the complex representation of $z(t)$ on the data page (easier if you already know the result).
* Among other things, because the tip of the Gaussian cloud is still within the green circle.


[[File:P_ID2137__Mob_Z_1_6e.png|right|frame|Complex receive signal $r(t)$ for Rayleigh and Rice]]
'''(5)''''  Correct are the <u>solution proposals 2 and 3</u>:
* At <i>Rice–Fading</i> the point cloud of $z(t)$ is in the first quadrant. If you multiply $z(t)$ by $s(t) = ±1$, you get two point clouds in the first and third quadrant. This does not change the WDF $f_a(a)$ of the amount.
* Even with <i>Rayleigh–Fading</i> the density functions $f_a(a)$ of the amount for $|z(t)|$ and $|r(t)|$ do not show any differences. Since the phase $\phi$ is equally distributed, the final result also has the same point clouds.
*However, if you look at the development of the complex representation of $z(t)$ and $r(t)$ dynamically, there are indeed differences. 
*Larger jumps occur in the complex representation of $r(t)$, whenever there are phase jumps by $±180^\circ$ in the transmitted signal $s(t)$, i.e. when changing symbols. 
*Thus, ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$ and ${\it \Phi}_r(f_{\rm D})$ &ndash are different for Rice–Fading; the latter is wider – and accordingly the corresponding autocorrelation function.

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