Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.5Z: Integration of Dirac Functions"

From LNTwww
m (Text replacement - "[[Signaldarstellung/" to "[[Signal_Representation/")
Line 10: Line 10:
 
Ausgegangen wird vom Zeitsignal  ${x(t)}$  gemäß der mittleren Skizze, das sich aus drei Diracimpulsen bei  $–T$,  $0$  und  $+T$  mit den Impulsgewichte  ${AT}$,  $-2{AT}$  und  ${AT}$  zusammensetzt.
 
Ausgegangen wird vom Zeitsignal  ${x(t)}$  gemäß der mittleren Skizze, das sich aus drei Diracimpulsen bei  $–T$,  $0$  und  $+T$  mit den Impulsgewichte  ${AT}$,  $-2{AT}$  und  ${AT}$  zusammensetzt.
  
Die Spektralfunktion  ${X(f)}$  kann durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatzes]]  direkt angegeben werden, wenn man berücksichtigt, dass die zu  ${U(f)}$  gehörige Zeitfunktion wie folgt lautet (siehe untere Skizze):
+
Die Spektralfunktion  ${X(f)}$  kann durch Anwendung des  [[Signal_Representation/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatzes]]  direkt angegeben werden, wenn man berücksichtigt, dass die zu  ${U(f)}$  gehörige Zeitfunktion wie folgt lautet (siehe untere Skizze):
 
:$$u( t ) =  - 2A + 2A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
 
:$$u( t ) =  - 2A + 2A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
  
Line 21: Line 21:
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signal_Representation/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
 
*Alle diese Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo  [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  an Beispielen verdeutlicht.
 
*Alle diese Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo  [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  an Beispielen verdeutlicht.
 
*Zwischen  ${x(t)}$  und  ${y(t)}$  besteht folgender Zusammenhang:
 
*Zwischen  ${x(t)}$  und  ${y(t)}$  besteht folgender Zusammenhang:
 
:$$y( t ) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau  )}\, {\rm d}\tau .$$
 
:$$y( t ) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau  )}\, {\rm d}\tau .$$
*Der  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]]  lautet in entsprechend angepasster Form:
+
*Der  [[Signal_Representation/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]]  lautet in entsprechend angepasster Form:
 
:$$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau  )}\,\, {\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f ) \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }\cdot }fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$
 
:$$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau  )}\,\, {\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f ) \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }\cdot }fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$
 
   
 
   

Revision as of 10:40, 9 July 2020

Integration von Diracfunktionen

Wie in der  Aufgabe 3.5  soll das Spektrum  ${Y(f)}$  des Signals

$$y( t ) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ - A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c} {{\rm{f \ddot{u}r}}} \\ {{\rm{f\ddot{u} r}}} \\ {\rm{sonst.}} \\ \end{array}\;\begin{array}{*{20}c} { - T \le t < 0,} \\ {0 < t \le T,} \\ {} \\\end{array}$$

ermittelt werden. Es gelte wieder  $A = 1 \,\text{V}$  und  $T = 0.5 \,\text{ms}$.

Ausgegangen wird vom Zeitsignal  ${x(t)}$  gemäß der mittleren Skizze, das sich aus drei Diracimpulsen bei  $–T$,  $0$  und  $+T$  mit den Impulsgewichte  ${AT}$,  $-2{AT}$  und  ${AT}$  zusammensetzt.

Die Spektralfunktion  ${X(f)}$  kann durch Anwendung des  Vertauschungssatzes  direkt angegeben werden, wenn man berücksichtigt, dass die zu  ${U(f)}$  gehörige Zeitfunktion wie folgt lautet (siehe untere Skizze):

$$u( t ) = - 2A + 2A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$





Hinweise:

$$y( t ) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\, {\rm d}\tau .$$
$$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\,\, {\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f ) \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }\cdot }fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$


Fragebogen

1

Berechnen Sie die Spektralfunktion  ${X(f)}$. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen  $f = 0$  und  $f = 1\, \text{kHz}$?

$|{X(f = 0)}| \ = \ $

 $\text{mV/Hz}$
$|{X(f = 1\, \text{kHz})}|\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$

2

Berechnen Sie die Spektralfunktion  ${Y(f)}$. Welche Werte ergeben sich bei den Frequenzen  $f = 0$  und  $f = 1\, \text{kHz}$?

$|{Y(f = 0)}|\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$
$|{Y(f = 1\, \text{kHz})}| \ = \ $

 $\text{mV/Hz}$


Musterlösung

(1)  Im Angabenteil zur Aufgabe finden Sie die Fourierkorrespondenz zwischen  ${u(t)}$  und  ${U(f)}$.

  • Da sowohl die Zeitfunktionen  ${u(t)}$  und  ${x(t)}$  als auch die dazugehörigen Spektren  ${U(f)}$  und  ${X(f)}$  gerade und reell sind, kann man  ${X(f)}$  durch Anwendung des Vertauschungssatzes leicht berechnen:
$$X( f ) = - 2 \cdot A \cdot T + 2 \cdot A \cdot T \cdot \cos \left( {{\rm{2\pi }}fT} \right).$$
  • Wegen der Beziehung  $\sin^{2}(\alpha) = (1 – \cos(\alpha))/2$  kann hierfür auch geschrieben werden:
$$X( f ) = - 4 \cdot A \cdot T \cdot \sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} ).$$
  • Bei der Frequenz  $f = 0$  hat  ${x(t)}$  keine Spektralanteile   ⇒   ${X(f = 0)} \;\underline{= 0}$.
  • Für  $f = 1 \,\text{kHz}$  – also  $f \cdot T = 0.5$  –   gilt dagegen:
$$X( f = 1\;{\rm{kHz}} ) = - 4 \cdot A \cdot T = -2 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}\; \Rightarrow \; |X( {f = 1\;{\rm{kHz}}} )| \hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$


(2)  Das Spektrum  ${Y(f)}$  kann aus  ${X(f)}$  durch Anwendung des Integrationssatzes ermittelt werden.

  • Wegen  ${X(f = 0)} = 0$  muss die Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$  nicht berücksichtigt werden und man erhält:
$$Y( f ) = \frac{X( f )}{{{\rm{j}} \cdot 2{\rm{\pi }}fT}} = \frac{{ - 4 \cdot A \cdot T \cdot \sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }}fT}} = 2{\rm{j}} \cdot A \cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{\pi }}fT}}.$$
  • Es ergibt sich selbstverständlich das gleiche Ergebnis wie in der  Aufgabe 3.5:
  • Bei der Frequenz  $f = 0$  hat auch  ${y(t)}$  keine Spektralanteile   ⇒   ${Y(f = 0)} \;\underline{= 0}$.
  • Für  $f = 1\,\text{kHz} \ \ (f \cdot T = 0.5)$  erhält man gegenüber  $X(f)$  einen um den Faktor  $\pi$  kleineren Wert:
$$|Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} )| = \frac{4 \cdot A \cdot T}{\rm{\pi }} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{0}}{\rm{.636}} \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$