Aufgaben:Exercise 3.4: Systematic Convolution Codes

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Vorgegebene Filterstrukturen

Man spricht von einem systematischen Faltungscode der Rate  $R = 1/2$   ⇒   $k = 1, \ n = 2$, wenn das Codebit  $x_i^{(1)}$  gleich dem momentan anliegenden Informationsbit  $u_i$  ist.

Die Übertragungsfunktionsmatrix eines solchen Codes lautet:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

Der in der oberen Grafik dargestellte Coder  $\rm A$  ist sicher nicht systematisch, da für diesen  $G^{(1)}(D) ≠ 1$  gilt. Zur Herleitung der Matrix  $\mathbf{G}(D)$  verweisen wir auf ein  früheres Beispiel, in dem für unseren Standard–Rate–1/2–Coder mit Gedächtnis  $m = 2$  die Übertragungsfunktionsmatrix ermittelt wurde:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) = \big ( \hspace{0.05cm} 1 + D + D^2\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} 1 + D^2 \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

Der Coder  $\rm A$  unterscheidet sich gegenüber diesem Beispiel nur durch Vertauschen der beiden Ausgänge.

• Lautet die Übertragungsfunktionsmatrix eines Codes

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm},$$

• so gilt für die äquivalente systematische Repräsentation dieses Rate–1/2–Faltungscodes allgemein:

$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} {G^{(2)}(D)}/{G^{(1)}(D)} \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

In der Teilaufgabe (3) ist zu prüfen, welcher der systematischen Anordnungen äquivalent zum Coder  $\rm A$  ist?

• Entweder Coder  $\rm B$,
• oder Coder  $\rm C$ 
• oder auch beide.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Algebraische und polynomische Beschreibung.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten 

Übertragungsfunktionsmatrix – Transfer Function Matrix  sowie 

Äquivalenter systematischer Faltungscode.

Fragebogen

1

Wie lautet die Übertragungsfunktionsmatrix von  $\rm A$?

	$\mathbf{G}(D) = (1 + D^2, \ 1 + D + D^2)$,
	$\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$,
	$\mathbf{G}(D) = (1, \ 1 + D + D^2)$.

2

Wie lautet die äquivalente systematische Übertragungsfunktionsmatrix?

	$\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$,
	$\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1, \ 1 + D + D^2)$,
	$\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1, \ (1 + D + D^2)/(1 + D^2))$.

3

Welcher Coder ist zu  $\rm A$  äquivalent und systematisch?

	Coder  $\rm B$ ,
	Coder  $\rm C$ .

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

• Der Vorschlag 2 würde sich ergeben, wenn man die beiden Ausgänge vertauscht, also für den im Theorieteil meist betrachteten Rate–1/2–Standardcode.

• Der Vorschlag 3 gilt für einen systematischen Code ⇒ $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}$. Der hier betrachtete Coder  $\rm A$  weist diese Eigenschaft allerdings nicht auf.

(2)  Um von einem nichtsystematischen $(n, \ k)$–Code mit Matrix $\mathbf{G}(D)$ zum äquivalenten systematischen Code   ⇒   Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ zu gelangen,
muss man allgemein $\mathbf{G}(D)$ aufspalten in eine $k × k$–Matrix $\mathbf{T}(D)$ und eine Restmatrix $\mathbf{Q}(D)$.

• Das gewünschte Ergebnis lautet dann mit der $k × k$–Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$:

$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D)\hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

• Wir gehen hier von der $\mathbf{G}(D)$–Matrix für den Coder  $\rm A$  aus.
• Wegen $k = 1$ haben hier sowohl $\mathbf{T}(D)$ als auch $\mathbf{Q}(D)$ die Dimension $1 × 1$, sind also streng genommen gar keine Matrizen:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D)\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.2cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D)\hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\rm T}}(D) = \big ( 1+D^2\big )\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D) = \big ( 1+D+D^2\big )\hspace{0.05cm} .$$

• Für die beiden Elemente der systematischen Übertragungsfunktionsmatrix erhält man:

$$G^{(1)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = 1 C,\hspace{0.8cm} G^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.1cm} \frac{1+D+D^2}{1+D^2} \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist also der letzte Lösungsvorschlag:

• Der Lösungsvorschlag 1 beschreibt keinen systematischen Code.
• Ein Code entsprechend Lösungsvorschlag 2 ist zwar systematisch, aber nicht äquivalent zum Coder  $\rm A$  entsprechend der vorgegebenen Schaltung und Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$.

(3)  Die Generatorfunktionsmatrix von Coder  $\rm B$  lautet:

$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} {1+D+D^2} \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

• Dieser Coder ist also nicht äquivalent zum Coder  $\rm A$.
• Betrachten wir nun den Coder  $\rm C$. Hier gilt für das zweite Matrixelement von $\mathbf{G}(D)$:

$$w_i \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_i + w_{i-2} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm} {U}(D) = W(D) \cdot (1 + D^2 ) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} w_i + w_{i-1} + w_{i-2} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm} {X}^{(2)}(D) = W(D) \cdot (1 +D + D^2 )$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G^{(2)}(D) = \frac{{X}^{(2)}(D)}{{U}(D)} = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}\hspace{0.05cm}.$$

Dies entspricht genau dem Ergebnis der Teilaufgabe (2)  ⇒  Lösungsvorschlag 2.