Aufgaben:Exercise 1.2: Bit Error Rate

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Tabelle der Gaußsche Fehlerfunktionen

Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt, dass es durch ein BSC–Modell (Binary Symmetrical Channel ) mit Fehlerwahrscheinlichkeit  $p$  angenähert werden kann.

Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden, indem man die Sinkensymbolfolge  $ \langle v_\nu \rangle $  mit der Quellensymbolfolge  $ \langle q_\nu \rangle $  vergleicht und daraus die Fehlerfolge  $ \langle e_\nu \rangle $  ermittelt. Dabei gilt:

$$e_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} v_\nu = q_\nu \hspace{0.05cm}, \\ v_\nu \ne q_\nu . \\ \end{array}$$ Die Bitfehlerquote (englisch: Bit Error Rate ) ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p$ :

$${\rm BER} = \frac{1}{N}\cdot\sum_{\nu=1}^N e_\nu.$$

Je größer der Simulationsparameter  $N$  gewählt wird, um so genauer ist diese Näherung.

Aus der  Aufgabe 3.7  im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt, dass die Zufallsgröße „BER” eigentlich binominalverteilt ist, aber mit guter Näherung durch eine (diskrete) Gaußverteilung mit Mittelwert  $p$  und Streuung  $\sigma$  angenähert werden kann:

$$\sigma = \sqrt{\frac{ p\cdot (\rm 1- \it p)}{N}}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  Gaußverteilte Zufallsgrößen  im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
• In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen  $\rm \phi(x)$  und  $\rm Q(x)$  angegeben.

Fragebogen

1

Was beschreibt  $\rm BER$  im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

	$\rm BER$  ist eine Wahrscheinlichkeit.
	$\rm BER$  ist eine relative Häufigkeit.
	Wenn  $N$  hinreichend groß ist, stimmt  $\rm BER$  mit  $p$  exakt überein.

2

Berechnen Sie die Streuung  $\sigma$  für  $N = 10^6$  und  $p = 10^{-2}$.

$\sigma \ =\ $ $\ \cdot 10^{ -4 }\ $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerquote betragsmäßig um mehr als  $5\%$  von der Wahrscheinlichkeit  $\underline{p = 10^{-2}}$  abweicht?

${\rm Pr}(|{\rm BER} – p| > 0.05 · p) \ =\ $ $\ \cdot 10^{ -4 }\ $

4

Wie groß ist die gleiche Wahrscheinlichkeit mit  $\underline{p = 10^{-4}}$?

${\rm Pr}(|{\rm BER} – p| > 0.05 · p) \ =\ $

5

Wie groß müsste  $N$  mindestens sein, damit bei  $\underline{p = 10^{-4}}$  nicht mehr als  $10\%$  außerhalb des Intervalls von  $0.95 \cdot 10^{-4}$ ... $1.05 \cdot 10^{-4}$  liegen?

$N_{\rm min} \ =\ $ $\ \cdot 10^{ 6 }\ $

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist nur die zweite Aussage:

• $\rm BER$ ist der Quotient aus der Anzahl $n_{\rm B}$ der festgestellten Symbolfehler und der Anzahl $N$ aller simulierten Symbole und damit tatsächlich eine relative Häufigkeit.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass ${\rm BER} = p$ gilt, ist stets genau Null, da $\rm BER$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.
• Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit, dass $\rm BER$ in einem schmalen Intervall um $p$ liegt, mit steigendem $N$ immer größer.

(2)  Die Streuung der Gaußschen Zufallsgröße $\rm BER$ ergibt sich mit $N = 10^6$ und $p = 10^{-2}$ zu

$$\sigma = \sqrt{{ p\cdot (\rm 1- \it p)}/{N}}\approx \sqrt{{ p}/{N}}\hspace{0.1cm}\underline {= 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Die Wahrscheinlichkeit, dass die $\rm BER$ einen Wert außerhalb des Bereichs $0.95 \cdot p$ ... $1.05 \cdot p$ annimmt, ergibt sich mit $\varepsilon = 5 \cdot 0^{-4}$ ($p = 10^{-2}$) zu

$${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right) = {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right) = {\rm Q} \left({\varepsilon}/{\sigma} \right)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER} - p| > \varepsilon \right) = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-4}}{10^{-4}} \right) = 2 \cdot 0.287 \cdot 10^{-6}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.00574 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Mit $p = 10^{-4}$ gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr} \left( |{\rm BER} - 10^{-4}| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right) = 2 \cdot {\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right);\hspace{0.5cm} \text{mit}\hspace{0.5cm}\sigma \approx \sqrt{{ p}/{N}}= 10^{-5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}\text{:}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER} - 10^{-4}| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right) = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}} \right) = 2 \cdot 0.309 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.618} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Diese Bedingung lässt sich mit $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$ wie folgt formulieren:

$${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{\varepsilon^2}{\sigma^2}\approx \frac{\varepsilon^2 \cdot N}{p}> 1.64^2 = 2.69$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} N > \frac{2.69 \cdot p}{\varepsilon^2}= \frac{2.69 \cdot 10^{-4}}{25 \cdot10^{-12}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 10.8 \cdot 10^{6}}\hspace{0.05cm}.$$