Signal Representation/Discrete Fourier Transform (DFT)

1. Signal Representation
2. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung
3. Discrete Fourier Transform (DFT)

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Argumente für die diskrete Realisierung der Fouriertransformation

Die  Fouriertransformation  gemäß der bisherigen Beschreibung im Kapitel  Aperiodische Signale – Impulse  weist aufgrund der unbegrenzten Ausdehnung des Integrationsintervalls eine unendlich hohe Selektivität auf und ist deshalb ein ideales theoretisches Hilfsmittel der Spektralanalyse.

Sollen die Spektralanteile  $X(f)$  einer Zeitfunktion  $x(t)$  numerisch ermittelt werden, so sind die allgemeinen Transformationsgleichungen

$$\begin{align*}X(f) & = \int_{-\infty }^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Hintransformation}\hspace{0.7cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Erstes Fourierintegral} \hspace{0.05cm},\\ x(t) & = \int_{-\infty }^{+\infty}\hspace{-0.15cm}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\hspace{0.35cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Rücktransformation}\hspace{0.4cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Zweites Fourierintegral} \hspace{0.05cm}\end{align*}$$

aus zwei Gründen ungeeignet:

• Die Gleichungen gelten ausschließlich für zeitkontinuierliche Signale. Mit Digitalrechnern oder Signalprozessoren kann man jedoch nur zeitdiskrete Signale verarbeiten.
• Für eine numerische Auswertung der beiden Fourierintegrale ist es erforderlich, das jeweilige Integrationsintervall auf einen endlichen Wert zu begrenzen.

$\text{Daraus ergibt sich folgende Konsequenz:}$ 

Ein  kontinuierliches Signal  muss vor der numerischen Bestimmung seiner Spektraleigenschaften zwei Prozesse durchlaufen, nämlich

• den der  Abtastung  zur Diskretisierung, und
• den der  Fensterung  zur Begrenzung des Integrationsintervalls.

Im Folgenden wird ausgehend von einer aperiodischen Zeitfunktion  $x(t)$  und dem dazugehörigen Fourierspektrum  $X(f)$  eine für die Rechnerverarbeitung geeignete zeit– und frequenzdiskrete Beschreibung schrittweise entwickelt.

Zeitdiskretisierung – Periodifizierung im Frequenzbereich

Die folgenden Grafiken zeigen einheitlich links den Zeitbereich und rechts den Frequenzbereich. Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit sind  $x(t)$  und  $X(f)$  jeweils reell und gaußförmig.

Diskretisierung im Zeitbereich – Periodifizierung im Frequenzbereich

Entsprechend dem Kapitel  Zeitdiskrete Signaldarstellung  kann man die Abtastung des Zeitsignals  $x(t)$  durch die Multiplikation mit einem Diracpuls  $p_{\delta}(t)$  beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand  $T_{\rm A}$  abgetastete Zeitsignal

$${\rm A}\{x(t)\} = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot \delta (t- \nu \cdot T_{\rm A} )\hspace{0.05cm}.$$

Dieses abgetastete Signal  $\text{A}\{ x(t)\}$  transformieren wir nun in den Frequenzbereich. Der Multiplikation des Diracpulses  $p_{\delta}(t)$  mit  $x(t)$  entspricht im Frequenzbereich die Faltung von  $P_{\delta}(f)$  mit  $X(f)$. Es ergibt sich das periodifizierte Spektrum  $\text{P}\{ X(f)\}$, wobei  $f_{\rm P}$  die Frequenzperiode der Funktion  $\text{P}\{ X(f)\}$  angibt:

$${\rm A}\{x(t)\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{X(f)\} = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm P} )\hspace{0.5cm} {\rm mit }\hspace{0.5cm}f_{\rm P}= {1}/{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

Dieser Zusammenhang wurde ebenfalls bereits im Kapitel  Zeitdiskrete Signaldarstellung  hergeleitet, jedoch mit etwas anderer Nomenklatur:

• Das abgetastete Signal bezeichnen wir nun mit  $\text{A}\{ x(t)\}$  anstelle von  $x_{\rm A}(t)$.
• Die  Frequenzperiode  wird nun mit  $f_{\rm P} = 1/T_{\rm A}$  anstelle von  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  bezeichnet.

Diese Nomenklaturänderungen werden auf den folgenden Seiten begründet.

Die obige Grafik zeigt den hier beschriebenen Funktionalzusammenhang. Es ist anzumerken:

• Die Frequenzperiode  $f_{\rm P}$  wurde hier bewusst klein gewählt, so dass die Überlappung der zu summierenden Spektren deutlich zu erkennen ist.
• In der Praxis sollte  $f_{\rm P}$  aufgrund des Abtasttheorems mindestens doppelt so groß sein wie die größte im Signal  $x(t)$  enthaltene Frequenz.
• Ist dies nicht erfüllt, so muss mit  Aliasing  gerechnet werden – siehe Kapitel  Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT.

Frequenzdiskretisierung – Periodifizierung im Zeitbereich

Die Diskretisierung von  $X(f)$  lässt sich ebenfalls durch eine Multiplikation mit einem Diracpuls beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand  $f_{\rm A}$  abgetastete Spektrum:

$${\rm A}\{X(f)\} = X(f) \cdot \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} f_{\rm A} \cdot \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } ) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} f_{\rm A} \cdot X(\mu \cdot f_{\rm A } ) \cdot\delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } )\hspace{0.05cm}.$$

Transformiert man den hier verwendeten Frequenz–Diracpuls $($mit Impulsgewichten  $f_{\rm A})$  in den Zeitbereich, so erhält man mit  $T_{\rm P} = 1/f_{\rm A}$:

$$\sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} f_{\rm A} \cdot \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } ) \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$

Die Multiplikation mit  $X(f)$  entspricht im Zeitbereich der Faltung mit  $x(t)$. Man erhält das im Abstand  $T_{\rm P}$  periodifizierte Signal  $\text{P}\{ x(t)\}$:

$${\rm A}\{X(f)\} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{x(t)\} = x(t) \star \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } )= \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} x (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$

Diskretisierung im Frequenzbereich – Periodifizierung im Zeitbereich

$\text{Beispiel 1:}$  Dieser Zusammenhang ist in der Grafik veranschaulicht:

• Aufgrund der groben Frequenzrasterung ergibt sich in diesem Beispiel für die Zeitperiode  $T_{\rm P}$  ein relativ kleiner Wert.

• Deshalb unterscheidet sich das (blaue) periodifizierte Zeitsignal  $\text{P}\{ x(t)\}$  aufgrund von Überlappungen deutlich von  $x(t)$.

Finite Signaldarstellung

Finite Signale der Diskreten Fouriertransformation (DFT)

Zur so genannten  finiten Signaldarstellung  kommt man,

• wenn sowohl die Zeitfunktion  $x(t)$
• als auch die Spektralfunktion  $X(f)$

ausschließlich durch ihre Abtastwerte angegeben werden.
Die Grafik ist wie folgt zu interpretieren:

• Im linken Bild blau eingezeichnet ist die Funktion  $\text{A}\{ \text{P}\{ x(t)\}\}$. Diese ergibt sich durch Abtastung der periodifizierten Zeitfunktion  $\text{P}\{ x(t)\}$  mit äquidistanten Diracimpulsen im Abstand  $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P}$.
• Im rechten Bild grün eingezeichnet ist die Funktion  $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$. Diese ergibt sich durch Periodifizierung $($mit  $f_{\rm P})$  der abgetasteten Spektralfunktion  $\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$.
• Zwischen dem blauen finiten Signal (linke Skizze) und dem grünen finiten Signal (rechte Skizze) besteht eine Fourierkorrespondenz, und zwar folgende:

$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} \hspace{0.05cm}.$$

• Die Diraclinien der periodischen Fortsetzung  $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$  der abgetasteten Spektralfunktion fallen allerdings nur dann in das gleiche Frequenzraster wie diejenigen von  $\text{A}\{ X(f)\}$, wenn die Frequenzperiode  $f_{\rm P}$  ein ganzzahliges Vielfaches  $(N)$  des Frequenzabtastabstandes  $f_{\rm A}$  ist.
• Deshalb muss bei Anwendung der finiten Signaldarstellung stets die folgende Bedingung erfüllt sein, wobei die natürliche Zahl  $N$  in der Praxis meist eine Zweierpotenz ist  (obiger Grafik liegt der Wert  $N = 8$  zugrunde):

$$f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} {1}/{T_{\rm A}}= N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} N \cdot f_{\rm A}\cdot T_{\rm A} = 1\hspace{0.05cm}.$$

• Bei Einhaltung der Bedingung  $N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1$  ist die Reihenfolge von Periodifizierung und Abtastung vertauschbar. Somit gilt:

$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} = {\rm P}\{{\rm A}\{x(t)\}\}\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} = {\rm A}\{{\rm P}\{X(f)\}\}\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$ 

• Die Zeitfunktion  $\text{P}\{ \text{A}\{ x(t)\}\}$  besitzt die Periode  $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.
• Die Periode im Frequenzbereich ist  $f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A}$.
• Zur Beschreibung des diskretisierten Zeit– und Frequenzverlaufs reichen somit jeweils  $N$  komplexe Zahlenwerte in Form von Impulsgewichten aus.

$\text{Beispiel 2:}$  Es liegt ein zeitbegrenztes (impulsartiges) Signal  $x(t)$  in abgetasteter Form vor, wobei der Abstand zweier Abtastwerte  $T_{\rm A} = 1\, {\rm µ s}$  beträgt:

• Nach einer diskreten Fouriertransformation mit  $N = 512$  liegt das Spektrum  $X(f)$  in Form von Abtastwerten im Abstand  $f_{\rm A} = (N \cdot T_{\rm A})^{–1} \approx 1.953\,\text{kHz} $  vor.
• Vergrößert man den DFT–Parameter auf  $N= 2048$, so ergibt sich ein (vierfach) feineres Frequenzraster mit  $f_{\rm A} \approx 488\,\text{Hz}$.

Von der kontinuierlichen zur diskreten Fouriertransformation

Aus dem herkömmlichen  ersten Fourierintegral

$$X(f) =\int_{-\infty }^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$

entsteht durch Diskretisierung  $(\text{d}t \to T_{\rm A}$,  $t \to \nu \cdot T_{\rm A}$,  $f \to \mu \cdot f_{\rm A}$,  $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1/N)$  die abgetastete und periodifizierte Spektralfunktion

$${\rm P}\{X(\mu \cdot f_{\rm A})\} = T_{\rm A} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} {\rm P}\{x(\nu \cdot T_{\rm A})\}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu /N} \hspace{0.05cm}.$$

Es ist berücksichtigt, dass aufgrund der Diskretisierung jeweils die periodifizierten Funktionen einzusetzen sind.

Aus Gründen einer vereinfachten Schreibweise nehmen wir nun die folgenden Substitutionen vor:

• Die  $N$  Zeitbereichskoeffizienten  seien mit der Laufvariablen  $\nu = 0$, ... , $N - 1$:

$$d(\nu) = {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

• Die  $N$  Frequenzbereichskoeffizienten  seien mit der Laufvariablen  $\mu = 0,$ ... , $N$ – 1:

$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big|}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

• Abkürzend wird für den von  $N$  abhängigen  komplexen Drehfaktor  geschrieben:

$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$

Zur Definition der Diskreten Fouriertransformation (DFT) mit  $N=8$

$\text{Definition:}$ 

Unter dem Begriff  Diskrete Fouriertransformation  (kurz DFT)  versteht man die Berechnung der  $N$  Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$  aus den  $N$  Signalkoeffizienten  $d(\nu)$:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.07cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}. $$

In der Grafik erkennt man an einem Beispiel

• die  $N = 8$  Signalkoeffizienten  $d(\nu)$  an der blauen Füllung,
• die  $N = 8$  Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$  an der grünen Füllung.

Inverse Diskrete Fouriertransformation

Die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) beschreibt das  zweite Fourierintegral

$$\begin{align*}x(t) & = \int_{-\infty }^{+\infty}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\end{align*}$$

in diskretisierter Form:  

$$d(\nu) = {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A}}\hspace{0.01cm}.$$

Zur Definition der IDFT mit  $N=8$

$\text{Definition:}$ 

Unter dem Begriff  Inverse Diskreten Fouriertransformation  (kurz IDFT)  versteht man die Berechnung der Signalkoeffizienten  $d(\nu)$  aus den Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$:

$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.07cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Mit den Laufvariablen  $\nu = 0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$  und  $\mu = 0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$  gilt auch hier:

$$d(\nu) = {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big \vert}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A} }\hspace{0.01cm},$$

$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big \vert}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A} } \hspace{0.01cm},$$

$$w = {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} \hspace{0.01cm}.$$

Ein Vergleich zwischen der  DFT  und IDFT zeigt, dass genau der gleiche Algorithmus verwendet werden kann. Die einzigen Unterschiede der IDFT gegenüber der DFT sind:

• Der Exponent des Drehfaktors ist mit unterschiedlichem Vorzeichen anzusetzen.
• Bei der IDFT entfällt die Division durch  $N$.

Interpretation von DFT und IDFT

Die Grafik zeigt die diskreten Koeffizienten im Zeit– und Frequenzbereich zusammen mit den periodifizierten zeitkontinuierlichen Funktionen.

Zeit– und Frequenzbereichskoeffizienten der DFT

Bei Anwendung von DFT bzw. IDFT ist zu beachten:

• Nach obigen Definitionen besitzen die DFT–Koeffizienten  $d(ν)$  und  $D(\mu)$  stets die Einheit der Zeitfunktion.
• Dividiert man  $D(\mu)$  durch  $f_{\rm A}$, so erhält man den Spektralwert  $X(\mu \cdot f_{\rm A})$.
• Die Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$  müssen stets komplex angesetzt werden, um auch ungerade Zeitfunktionen berücksichtigen zu können.
• Um auch Bandpass–Signale im äquivalenten Tiefpass–Bereich transformieren zu können, verwendet man meist auch komplexe Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$.
• Als Grundintervall für  $\nu$  und  $\mu$  definiert man meist – wie in obiger Grafik – den Bereich von  $0$  bis  $N - 1$  (gefüllte Kreise in der Grafik).
• Mit den komplexwertigen Zahlenfolgen  $\langle \hspace{0.1cm}d(\nu)\hspace{0.1cm}\rangle = \langle \hspace{0.1cm}d(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , d(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$   sowie   $\langle \hspace{0.1cm}D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle = \langle \hspace{0.1cm}D(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , D(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$  werden DFT und IDFT ähnlich wie die herkömmliche Fouriertransformation symbolisiert:

$$\langle \hspace{0.1cm} D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-(N)\!-\!\!\!-\!\!\hspace{0.05cm}\circ\, \hspace{0.2cm} \langle \hspace{0.1cm} d(\nu) \hspace{0.1cm}\rangle \hspace{0.05cm}.$$

• Ist die Zeitfunktion  $x(t)$  bereits auf den Bereich  $0 \le t \lt N \cdot T_{\rm A}$  begrenzt, dann geben die von der IDFT ausgegebenen Zeitkoeffizienten direkt die Abtastwerte der Zeitfunktion an:   $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A}).$
• Ist  $x(t)$  gegenüber dem Grundintervall verschoben, so muss man die im  $\text{Beispiel 3}$  gezeigte Zuordnung zwischen  $x(t)$  und den Koeffizienten  $d(\nu)$  wählen.

$\text{Beispiel 3:}$  Die obere Grafik zeigt den unsymmetrischen Dreieckimpuls  $x(t)$, dessen absolute Breite kleiner ist als  $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.

Zur Belegung der DFT-Koeffizienten mit  $N=8$

Die untere Skizze zeigt die zugeordneten DFT–Koeffizienten $($gültig für  $N = 8)$.

• Für  $\nu = 0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , N/2 = 4$  gilt  $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A})$:

$$d(0) = x (0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} d(1) = x (T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} d(2) = x (2T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, $$

$$d(3) = x (3T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} d(4) = x (4T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

• Dagegen sind die Koeffizienten  $d(5)$,  $d(6)$  und  d$(7)$  wie folgt zu setzen:

$$d(\nu) = x \big ((\nu\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm} N ) \cdot T_{\rm A}\big ) $$

$$ \Rightarrow \hspace{0.2cm}d(5) = x (-3T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.35cm} d(6) = x (-2T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.35cm} d(7) = x (-T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

Aufgaben zum Kapitel

Exercise 5.2: Inverse Discrete Fourier Transform

Exercise 5.2Z: DFT of a Triangular Pulse