[[File:P_ID757__Sig_Z_4_5.png|right|frame|Modell des betrachteten Phasenmodulators]]
[[File:P_ID757__Sig_Z_4_5.png|right|frame|Modell des betrachteten Phasenmodulators]]
Die Grafik zeigt eine recht einfache Anordnung zur Approximation eines Phasenmodulators. Alle Signale seien hierbei dimensionslose Größen.
The diagram shows a quite simple arrangement for approximating a phase modulator. All signals are dimensionless quantities.
Das sinusförmige Nachrichtensignal $q(t)$ der Frequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$ wird mit dem Signal $m(t)$ multipliziert, das sich aus dem cosinusförmigen Trägersignal $z(t)$ durch Phasenverschiebung um $\phi = 90^\circ$ ergibt:
The sinusoidal message signal $q(t)$ of frequency $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$ is multiplied by the signal $m(t)$ , which results from the cosinusoidal carrier signal $z(t)$ by phase shifting by $\phi = 90^\circ$ :
:$$m(t) = {\cos} ( \omega_{\rm T} \cdot t + 90^\circ).$$
:$$m(t) = {\cos} ( \omega_{\rm T} \cdot t + 90^\circ).$$
Anschließend wird das Signal $z(t)$ mit der Frequenz $f_{\rm T} = 1 \ \text{MHz}$ noch direkt addiert.
Then the signal $z(t)$ with the frequency $f_{\rm T} = 1 \ \text{MHz}$ is still added directly.
Zur Abkürzung werden in dieser Aufgabe auch verwendet:
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signal_Representation/Equivalent_Low_Pass_Signal_and_Its_Spectral_Function|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*This exercise belongs to the chapter [[Signal_Representation/Equivalent_Low_Pass_Signal_and_Its_Spectral_Function|Equivalent Low Pass Signal and Its Spectral Function]].
*Berücksichtigen Sie die trigonomischen Umformungen
{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal $s_{\rm TP}(t)$. Welche Inphase– und Quadtraturkomponente ergeben sich zum Zeitpunkt $t = 0$?
{Calculate the equivalent low pass signal $s_{\rm TP}(t)$. What are the inphase and quadrature components at time $t = 0$?
|type="{}"}
|type="{}"}
$s_{\rm I}(t = 0)\ = \ $ { 1 3% }
$s_{\rm I}(t = 0)\ = \ $ { 1 3% }
Line 48:
Line 48:
{Welche der folgenden Aussagen treffen für die Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$ zu?
{Which of the following statements are true for the locus curve $s_{\rm TP}(t)$ zu?
|type="[]"}
|type="[]"}
- Die Ortskurve ist ein Kreisbogen.
- The locus curve is a circular arc.
- Die Ortskurve ist eine horizontale Gerade.
- The locus curve is a horizontal straight line.
+ Die Ortskurve ist eine vertikale Gerade.
+ The locus curve is a vertical straight line.
{Berechnen Sie den Betrag $a(t)$, insbesondere dessen Maximal– und Minimalwert.
{Calculate the magnitude $a(t)$, in particular its maximum and minimum values.
|type="{}"}
|type="{}"}
$a_{\rm max}\ = \ $ { 1.414 3% }
$a_{\rm max}\ = \ $ { 1.414 3% }
Line 61:
Line 62:
{Wie lautet die Phasenfunktion $\phi(t)$. Wie groß ist deren Maximalwert?
{What is the phase function $\phi(t)$. What is its maximum value?
'''(4)''' Der Betrag (die Zeigerlänge) schwankt zwischen $a_{\rm max} = \sqrt{2}\; \underline{\approx 1.414}$ und $a_{\rm min} \;\underline{= 1}$. Es gilt:
'''(4)''' The magnitude (the pointer length) varies between $a_{\rm max} = \sqrt{2}\; \underline{\approx 1.414}$ and $a_{\rm min} \;\underline{= 1}$. It holds:
:$$a(t) = \sqrt{1 + \sin^2(\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t )}.$$
:$$a(t) = \sqrt{1 + \sin^2(\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t )}.$$
Bei idealer Phasenmodulation müsste dagegen die Hüllkurve $a(t)$ konstant sein.
With ideal phase modulation, on the other hand, the envelope $a(t)$ would have to be constant.
'''(5)''' Der Realteil ist stets $1$, der Imaginärteil gleich $\sin(\omega_{\rm N} \cdot t) $. Daraus folgt die Phasenfunktion:
'''(5)''' The real part is always $1$, the imaginary part equal to $\sin(\omega_{\rm N} \cdot t) $. From this follows the phase function:
The diagram shows a quite simple arrangement for approximating a phase modulator. All signals are dimensionless quantities.
The sinusoidal message signal $q(t)$ of frequency $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$ is multiplied by the signal $m(t)$ , which results from the cosinusoidal carrier signal $z(t)$ by phase shifting by $\phi = 90^\circ$ :
$$m(t) = {\cos} ( \omega_{\rm T} \cdot t + 90^\circ).$$
Then the signal $z(t)$ with the frequency $f_{\rm T} = 1 \ \text{MHz}$ is still added directly.
For abbreviation purposes, this task also uses:
the difference frequency $f_{\rm \Delta} = f_{\rm T} - f_{\rm N} = 0.99 \ \text{MHz}$,
the sum frequency $f_{\rm \Sigma} = f_{\rm T} + f_{\rm N} = 1.01\ \text{MHz}$,
the two angular frequencies $\omega_{\rm \Delta} = 2\pi \cdot f_{\rm \Delta}$ and $\omega_{\rm \Sigma} = 2\pi \cdot f_{\rm \Sigma}$.
(4) The magnitude (the pointer length) varies between $a_{\rm max} = \sqrt{2}\; \underline{\approx 1.414}$ and $a_{\rm min} \;\underline{= 1}$. It holds:
$$a(t) = \sqrt{1 + \sin^2(\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t )}.$$
With ideal phase modulation, on the other hand, the envelope $a(t)$ would have to be constant.
(5) The real part is always $1$, the imaginary part equal to $\sin(\omega_{\rm N} \cdot t) $. From this follows the phase function:
