Aufgaben:Exercise 4.16: Eigenvalues and Eigenvectors

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Drei Korrelationsmatrizen

Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als  $N = 2$  Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.

In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_x}$  der 2D–Zufallsgröße  $\mathbf{x} = (x_1, x_2)^{\rm T}$  angegeben, wobei  $\sigma_1^2$  und  $\sigma_2^2$  die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben.  $\rho$  bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.

Die Zufallsgrößen  $\mathbf{y}$  und  $\mathbf{z}$  geben zwei Spezialfälle von  $\mathbf{x}$  an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$  bzw.  $\mathbf{K_z}$  bestimmt werden sollen.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
• Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten  Determinante einer Matrix  sowie  Inverse einer Matrix.
• Entsprechend der Seite  Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen  ist der Winkel $\alpha$ zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:

$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$

• Insbesondere ist zu beachten:
  • Eine  $2×2$-Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$.
  • Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren  $\xi_1$  und  $\xi_2$.
  • Diese spannen ein neues Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen des alten Systems auf.

Fragebogen

1

Welche Aussagen treffen für die Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$  zu?

	$\mathbf{K_y}$  beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit  $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
	Der Wertebereich des Parameters  $\rho$  ist  $-1 \le \rho \le +1$.
	Der Wertebereich des Parameters  $\rho$  ist  $0 < \rho < 1$.

2

Berechnen Sie die Eigenwerte von  $\mathbf{K_y}$  unter der Bedingung  $\sigma = 1$  und  $\rho = 0$.

$\lambda_1 \ = \ $ $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

$\lambda_2 \ = \ $ $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$

3

Geben Sie die Eigenwerte von  $\mathbf{K_y}$  unter der Bedingung  $\sigma = 1$  sowie  $0 < \rho < 1$  an.  Welche Werte ergeben sich für  $\rho = 0.5 $, wobei  $\lambda_1 \ge \lambda_2$  vorausgesetzt wird?

$\lambda_1 \ = \ $ $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

$\lambda_2 \ = \ $ $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$

4

Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren  $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$.  Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	$\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$  liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.
	Die neuen Koordinaten sind um  $45^\circ$  gedreht.
	Die Streuungen bezüglich des neuen Systems sind  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$.

5

Wie lauten die Kenngrößen der durch  $\mathbf{K_z}$  festgelegten Zufallsgröße  $\mathbf{z}$?

$\sigma_1 = \ $

$\sigma_2 = \ $

$\rho = \ $

6

Berechnen Sie die Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2 \le \lambda_1$  der Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_z}$.

$\lambda_1 \ = \ $ $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

$\lambda_2 \ = \ $ $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$

7

Um welchen Winkel  $\alpha$  ist das neue Koordinatensystem  $(\mathbf{\zeta_1}, \ \mathbf{\zeta_2})$  gegenüber dem ursprünglichen System  $(\mathbf{z_1}, \ \mathbf{z_2})$  gedreht?

$\alpha \ = \ $ $\ \rm Grad$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

• $\mathbf{K_y}$  ist tatsächlich die allgemeinste Korrelationsmatrix einer 2D-Zufallsgröße mit  $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
• Der Parameter  $\rho$  gibt den Korrelationskoeffizienten an.  Dieser kann alle Werte zwischen  $\pm 1$  inclusive dieser Randwerte annehmen.

(2)  In diesem Fall lautet die Bestimmungsgleichung:

$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc} 1- \lambda & 0 \\ 0 & 1- \lambda \end{array} \right] = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} (1- \lambda)^2 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1/2} =1}.$$

(3)  Bei positivem  $\rho$  lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:

$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$

• Für  $\rho= 0.5$  erhält man  $\underline{\lambda_{1} =1.5}$  und  $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.
• Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich  $-1 \le \rho \le +1$.
• Für  $\rho = 0$  ist  $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$    ⇒   siehe Teilaufgabe  (2).
• Für  $\rho = \pm 1$  ergibt sich $\lambda_1 = 2$  und  $\lambda_2 = 0$.

(4)  Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  in die Korrelationsmatrix:

$$\left[ \begin{array}{cc} 1- (1+\rho) & \rho \\ \rho & 1- (1+\rho) \end{array} \right]\cdot{\boldsymbol{\eta_1}} = \left[ \begin{array}{cc} -\rho & \rho \\ \rho & -\rho \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c} \eta_{11} \\ \eta_{12} \end{array} \right]=0$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}-\rho \cdot \eta_{11} + \rho \cdot \eta_{12} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\eta_{11}= {\rm const} \cdot \eta_{12}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\eta_1}}= {\rm const}\cdot \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right];$$

$$\left[ \begin{array}{cc} 1- (1-\rho) & \rho \\ \rho & 1- (1-\rho) \end{array} \right]\cdot{\boldsymbol{\eta_2}} = \left[ \begin{array}{cc} \rho & \rho \\ \rho & \rho \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c} \eta_{21} \\ \eta_{22} \end{array} \right]=0$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\rho \cdot \eta_{21} + \rho \cdot \eta_{22} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\eta_{21}= -{\rm const} \cdot \eta_{22}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\eta_2}}= {\rm const}\cdot \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right].$$

Zur Drehung des Koordinatensystems

Bringt man diese in die so genannte Orthonormalform, so gilt:

$${\boldsymbol{\eta_1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right],\hspace{0.5cm} {\boldsymbol{\eta_2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right].$$

In der Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:

• Das durch  $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$  festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
• Mit  $\sigma_1 = \sigma_2$  ergibt sich fast immer  $($Ausnahme:   $\rho= 0)$  der Drehwinkel  $\alpha = 45^\circ$.
• Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:

$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2})= {1}/{2}\cdot \arctan (\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$

• Die Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die Varianzen.

Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2.

(5)  Durch Vergleich der Matrizen  $\mathbf{K_x}$  und  $\mathbf{K_z}$  erhält man

• $\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,
• $\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,
• $\rho = 2/(\sigma_{1} \cdot \sigma_{2})\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$.

(6)  Nach dem inzwischen altbekannten Schema gilt:

$$(4- \lambda) \cdot (1- \lambda) -4 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 - 5\lambda = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1} =5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$

(7)  Nach der auf dem Angabenblatt vorgegebenen Gleichung gilt:

$$\alpha ={1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot 1 \cdot \frac{2 \cdot 1}{2^2 -1^2})= {1}/{2}\cdot \arctan ({4}/{3}) = 26.56^\circ.$$

Bestmögliche Dekorrelation

Zum gleichen Ergebnis gelangt man über den Eigenvektor:

$$\left[ \begin{array}{cc} 4-5 & 2 \\ 2 & 1-5 \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c} \zeta_{11} \\ \zeta_{12} \end{array} \right]=0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}-\zeta_{11}= 2\zeta_{12}=0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\zeta_{12}={\zeta_{11}}/{2}$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = \arctan ({\zeta_{12}}/{\zeta_{11}}) = \arctan(0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= 26.56^\circ}.$$

Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße  $\mathbf{z}$:

• Wegen  $\rho = 1$  liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten  $z_1$  und  $z_2 = z_1/2$.
• Durch die Drehung um den Winkel  $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$  entsteht ein neues Koordinatensystem.
• Die Varianz entlang der Achse  $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt  $\lambda_1 = 5$  $($Streuung  $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236)$,
• während in der dazu orthogonalen Richtung  $\mathbf{\zeta_2}$  die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist  $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.