Linear and Time Invariant Systems/Classification of the Distortions

1. Linear and Time Invariant Systems
2. Signalverzerrungen und Entzerrung
3. Classification of the Distortions

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# OVERVIEW OF THE SECOND MAIN CHAPTER #

$\text{Definition:}$  Generally, undesirable deterministic changes of a message signal by a transmission system are considered as   distortions .

In addition to stochastic interferences (noise, crosstalk, etc.), such deterministic distortions are a critical limitation on transmission quality and rate for many messaging systems.

This chapter presents these distortions in a summarising way, in particular:

• the quantitative detection of such signal falsifications via the distortion power,
• the distinguishing features between nonlinear and linear distortions,
• the meaning and computation of the distortion factor in nonlinear systems and
• the effects of linear distortions of attenuation and phase distortions.

Further information on the topic as well as tasks, simulations and programming exercises can be found in

• Chapter 6: Linear Time-Invariant Systems (Programme lzi)

of the practical course "Simulation Methods in Communications Engineering". This (former) LNT course at TU Munich is based on

• the educational software package  LNTsim   ⇒   Link refers to the ZIP version of the programme, and
• this practical course guide  Praktikumsanleitung   ⇒   Link refers to the PDF-version; Chapter 6: pages 99-118.

Prerequisites for the Entire Second Main Chapter

Wir betrachten im Folgenden ein System, an dessen Eingang das Signal  $x(t)$  mit zugehörigem Spektrum  $X(f)$  anliegt. Das Ausgangssignal bezeichnen wir mit  $y(t)$  und dessen Spektrum mit  $Y(f).$

Beschreibung eines linearen Systems

Der mit „System” bezeichnete Block kann ein Teil einer elektrischen Schaltung sein oder ein komplettes Übertragungssystem, bestehend aus Sender, Kanal und Empfänger.

Für das gesamte Hauptkapitel „Signalverzerrungen und Entzerrung” soll gelten:

• Das System sei  zeitinvariant. Führt das Eingangssignal  $x(t)$  zum Signal  $y(t)$, so wird ein späteres Eingangssignal gleicher Form – nämlich  $x(t - t_0)$  – das Signal  $y(t - t_0)$  zur Folge haben.
• Es werden  keine Rauschprozesse  betrachtet, die bei realen Systemen stets vorhanden sind.  Zur Beschreibung dieser Phänomene verweisen wir auf das  $\rm LNTwww$–Buch  Stochastische Signaltheorie.
• Es werden  keine Detailkenntnisse  über das System vorausgesetzt.  Alle Systemeigenschaften werden im Folgenden allein aus den Signalen  $x(t)$  und  $y(t)$  bzw. deren Spektren abgeleitet.
• Insbesondere seien vorerst keine Festlegungen hinsichtlich der  Linearität gegeben.  Das „System” kann linear (Voraussetzung für die Anwendung des Superpositionsprinzips) oder nichtlinear sein.
• Aus einem einzigen Testsignal  $x(t)$  und dessen Antwort  $y(t)$  sind nicht alle Systemeigenschaften erkennbar. Daher müssen  ausreichend viele Testsignale  zur Bewertung herangezogen werden.

Nachfolgend werden wir Übertragungssysteme diesbezüglich näher klassifizieren.

Ideales und verzerrungsfreies System

$\text{Definition:}$  Man spricht von einem  idealen System, wenn das Ausgangssignal  $y(t)$  exakt gleich dem Eingangssignal  $x(t)$  ist:

$$y(t) \equiv x(t).$$

Anzumerken ist, dass es ein solches ideales System in der Realität nicht gibt, auch wenn man die stets existenten, in diesem Buch aber nicht betrachteten statistischen Störungen und Rauschvorgänge außer Acht lässt. Ein jedes Übertragungsmedium weist Verluste (Dämpfungen) und Laufzeiten auf. Selbst wenn diese physikalischen Phänomene sehr klein sind, so sind sie jedoch niemals Null. Deshalb ist es notwendig, ein etwas weniger strenges Qualitätsmerkmal einzuführen.

$\text{Definition:}$  Ein  verzerrungsfreies System  liegt vor, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

$$y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau).$$

Hierbei beschreibt  $α$  den Dämpfungsfaktor und  $τ$  die Laufzeit.

Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so spricht man von einem verzerrenden System.

$\text{Example 1:}$  Die folgende Grafik zeigt das Eingangssignal  $x(t)$  und das Ausgangssignal  $y(t)$  eines zwar nicht idealen, aber verzerrungsfreien Systems.  Die Systemparameter sind  $α = 0.8$  und  $τ = 0.25 \ \rm ms$.

Beispielhafte Signale eines verzerrungsfreien Systems

Anzumerken ist:

• Der Dämpfungsfaktor  $α$  kann durch eine empfängerseitige Verstärkung um  $1/α = 1.25$ vollständig rückgängig gemacht werden, doch ist zu berücksichtigen, dass damit auch etwaiges Rauschen angehoben wird.
• Dagegen kann die Laufzeit  $τ$  aus  Kausalitätsgründen  nicht kompensiert werden.  Es hängt nun von der Anwendung ab, ob eine solche Laufzeit subjektiv als störend empfunden wird oder nicht.

Beispielsweise wird man selbst bei einer Laufzeit von einer Sekunde die (unidirektionale) TV–Übertragung einer Veranstaltung noch immer als „live” bezeichnen.  Dagegen werden bei bidirektionaler Kommunikation – zum Beispiel einem Telefonat – schon Laufzeiten von  $\text{300 ms}$  als sehr störend empfunden. Man wartet entweder auf die Reaktion des Gesprächspartners oder beide Teilnehmer fallen sich ins Wort.

Quantitatives Maß für die Signalverzerrungen

Wir betrachten nun ein verzerrendes System anhand von Eingangs– und Ausgangssignal.  Dabei setzen wir zunächst voraus, dass außer den Signalverzerrungen nicht zusätzlich noch ein für alle Frequenzen konstanter Dämpfungsfaktor  $α$  und eine für alle Frequenzen konstante Laufzeit  $τ$  wirksam sind. Bei den nachfolgend skizzierten Signalausschnitten sind diese Voraussetzungen erfüllt.

Ein– und Ausgang eines verzerrenden Systems und Fehlersignal (unten)

In der Grafik ist zusätzlich zu den Signalen  $x(t)$  und  $y(t)$  auch das Differenzsignal eingezeichnet:

$$\varepsilon(t) = y(t) - x(t).$$

Als quantitatives Maß für die Stärke der Verzerrungen eignet sich zum Beispiel der  quadratische Mittelwert dieses Differenzsignals:

$$\overline{\varepsilon^2(t)} = \frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{ 0 }^{ T_{\rm M}} {\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.4cm} \left( = P_{\rm V} \right).$$

Zu dieser Gleichung ist Folgendes anzumerken:

• Die Messdauer  $T_{\rm M}$  muss hinreichend groß gewählt werden.  Eigentlich müsste diese Gleichung mit Grenzübergang formuliert werden.
• Der oben angegebene quadratische Mittelwert wird oft auch als der mittlere quadratische Fehler  $\rm (MQF)$  oder als die  Verzerrungsleistung  $P_{\rm V}$  bezeichnet.
• Sind  $x(t)$  und  $y(t)$  Spannungssignale, so besitzt  $P_{\rm V}$  die Einheit  ${\rm V}^2$, das heißt, die Leistung ist nach obiger Definition auf den Widerstand  $R = 1 \ Ω$  bezogen.

$\text{Definition:}$  Mit der  (auf  $R = 1 \ Ω$  bezogenen)  Leistung  $P_x$  des Eingangssignals  $x(t)$  kann das  Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis  angegeben werden:

$$\rho_{\rm V} = \frac{ P_{x} }{P_{\rm V} } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}\rho_{\rm V} = 10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}\frac{ P_{x} }{P_{\rm V} }\hspace{0.3cm} \left( {\rm in \hspace{0.15cm} dB} \right).$$

Bei den in der oberen Grafik dargestellten Signalen gilt  $P_x = 4 \ {\rm V}^2$,  $P_{\rm V} = 0.04 \ {\rm V}^2$  und damit  $10 \cdot {\rm lg} \ ρ_{\rm V} = 20 \ \rm dB$.

Wir verweisen auf das interaktive Applet  Lineare Verzerrungen periodischer Signale.

Berücksichtigung von Dämpfung und Laufzeit

Die auf der letzten Seite angegebenen Gleichungen führen dann nicht zu verwertbaren Aussagen, wenn zusätzlich eine Dämpfung  $α$  und/oder eine Laufzeit  $τ$  im System wirksam ist.  Die Grafik zeigt das gedämpfte, verzögerte und verzerrte Signal

Berücksichtigung von Dämpfung und Laufzeit

$$y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau) + \varepsilon_1(t).$$

Im Term  $ε_1(t)$  sind alle Verzerrungen zusammengefasst.  Man erkennt an der grünen Fläche, dass das Fehlersignal  $ε_1(t)$  relativ klein ist.

Sind dagegen die Dämpfung  $α$  und die Laufzeit  $τ$  unbekannt, so ist Folgendes zu beachten:

• Das so ermittelte Fehlersignal  $ε_2(t) = y(t) - x(t)$  ist trotz kleiner Verzerrungen  $ε_1(t)$  relativ groß.
• Anstelle der Verzerrungsleistung muss hier die Verzerrungsenergie betrachtet werden, da  $x(t)$  und  $y(t)$  energiebegrenzte Signale sind.
• Die Verzerrungsenergie erhält man, in dem man die unbekannten Größen  $α$  und  $τ$  variiert und auf diese Weise das Minimum des mittleren quadratischen Fehlers ermittelt:

$$E_{\rm V} = \min_{\alpha, \ \tau} \int_{ - \infty }^{ + \infty} {\big[y(t) - \left(\alpha \cdot x(t - \tau) \right) \big]^2}\hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$

• Die Energie des gedämpften und verzögerten Signals  $α · x(t - τ)$  ist unabhängig von der Laufzeit  $τ$  gleich  $α^2 · E_x$. Für das Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis gilt somit:

$$\rho_{\rm V} = \frac{ \alpha^2 \cdot E_{x}}{E_{\rm V}}\hspace{0.3cm}{\rm bzw.}\hspace{0.3cm}\rho_{\rm V}= \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V}} .$$

• Die erste dieser beiden Gleichungen gilt für zeitlich begrenzte und damit energiebegrenzte Signale, die zweite für zeitlich unbegrenzte, also leistungsbegrenzte Signale entsprechend der Seite  Energiebegrenzte und leistungsbegrenzte Signale  im Buch „Signaldarstellung”.

Lineare und nichtlineare Verzerrungen

Man unterscheidet zwischen linearen und nichtlinearen Verzerrungen:

Ist das System linear und zeitinvariant  $(\rm LZI)$, so wird es vollständig durch seinen  Frequenzgang  $H(f)$ charakterisiert, und es lässt sich Folgendes feststellen:

• Entspechend der  $H(f)$–Definition gilt für das Ausgangsspektrum:   $Y(f)=X(f) · H(f)$.   Daraus folgt nach den Rechenregeln der Multiplkation, dass  $Y(f)$  keine Frequenzanteile beinhalten kann, die nicht schon in  $X(f)$  enthalten sind.
• Die Umkehrung besagt:   Das Ausgangssignal  $y(t)$  kann jede Frequenz  $f_0$  beinhalten, die bereits im Eingangssignal  $x(t)$  enthalten ist. Voraussetzung ist also, dass  $X(f_0) ≠ 0$  gilt.
• Bei einem LZI–System ist die absolute Bandbreite  $(B_y)$  des Ausgangssignals nie größer als die Bandbreite  $(B_x)$  des Eingangssignals:   $B_y \le B_x .$

$\text{Fazit:}$  Die Unterschiede zwischen linearen und nichtlinearen Verzerrungen sollen anhand einses Schaubildes verdeutlicht werden:

Lineare und nichtlineare Verzerrungen

• In der oberen Grafik gilt  $B_y = B_x$.  Es liegen  lineare Verzerrungen  vor, da sich in diesem Frequenzband  $X(f)$  und  $Y(f)$  unterscheiden.
• Eine Bandbegrenzung  $(B_y < B_x)$  ist eine Sonderform linearer Verzerrungen, die im  übernächsten Kapitel  behandelt werden.

• Die untere Grafik zeigt ein Beispiel für  nichtlineare Verzerrungen  $(B_y > B_x)$.  Für ein solches System kann kein Frequenzgang  $H(f)$  angegeben werden.
• Welche Beschreibungsgrößen für nichtlineare Systeme geeignet sind, wird im nächsten Kapitel  Nichtlineare Verzerrungen  dargelegt.

Bei den meisten realen Übertragungskanälen treten sowohl lineare als auch nichtlineare Verzerrungen auf.  Für eine ganze Reihe von Problemstellungen ist jedoch die klare Trennung der beiden Verzerrungsarten essentiell.  In  [Kam04]  wird ein entsprechendes Ersatzmodell angegeben.

Wir verweisen hier auf das Lernvideo  Lineare und nichtlineare Verzerrungen .

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.1: Linear? - Nichtlinear?

Aufgabe 2.1Z: Verzerrung und Entzerrung

Aufgabe 2.2: Verzerrungsleistung

Aufgabe 2.2Z: Nochmals Verzerrungsleistung