Aufgaben:Exercise 1.3: Measured Step Response

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Measured step response

An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LTI) transmission system

• with the frequency response  $H(f)$
• and the impulse response  $h(t)$

wird ein sprungförmiges Signal angelegt (blaue Kurve):

$$x_1(t) = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} \cdot \gamma(t).$$

The measured output signal  $y_1(t)$  then has the curve shown below.

• With  $T = 2 \,{\rm ms}$  this signal can be described in the range from  $0$  to  $T$  as follows:

$$y_1(t) = 2 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot\big[ {t}/{T} - 0.5 \cdot ({t}/{T})^2\big].$$

• From  $t = T $  on   $y_1(t)$  is constantly equal  $1 \,{\rm V}$.

In the last subtask  (5)  the output signal  $y_2(t)$  is to be determined if a symmetrical rectangular pulse  $x_2(t)$  of duration  $T = 2 \hspace{0.05cm} {\rm ms}$  is applied to the input (see red curve in the upper graph).

Please note:

• The task belongs to the chapter  System Description in Time Domain
• For the rectangular pulse  $x_2(t)$  kann mit  $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$  auch geschrieben werden:

$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$

• Der Frequenzgang  $H(f)$  des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu  Exercise 3.8  im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.
• Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird  $H(f)$  jedoch nicht explizit benötigt.

Questions

1

Welche Aussagen sind anhand der Grafik über das LZI–System möglich?

	$H(f)$  beschreibt ein akausales System.
	$H(f)$  beschreibt ein kausales System.
	$H(f)$  beschreibt einen Tiefpass.
	$H(f)$  beschreibt einen Hochpass.

2

Wie groß ist der Gleichsignalübertragungsfaktor?

$H(f = 0) \ =\ $

3

Wie lautet die Sprungantwort  $σ(t)$? Welcher Wert tritt bei  $t = T/2$  auf?

$σ(t = \rm 1 \: ms) \ = \ $

4

Berechnen Sie die Impulsantwort  $h(t)$  des Systems. Welche Werte besitzt diese zu den Zeitpunkten  $t = T/2$  und  $t = T$?

$h(t = \rm 1 \: ms) \ =\ $  $\text {1/s}$

$h(t = \rm 2 \: ms) \ =\ $  $\text {1/s}$

5

Am Eingang liegt der Rechteckimpuls  $x_2(t)$  an. Welches Ausgangssignal  $y_2(t)$  ergibt sich zu den Zeiten  $t_1 = -1 \text { ms}$,  $t_2 = 0$ ,  $t_3 = +1 \text { ms}$  und  $t_4 = +2 \text { ms}$?

$y_2(t = t_1) \ =\ $  $\text {V}$

$y_2(t = t_2) \ =\ $  $\text {V}$

$y_2(t = t_3) \ =\ $  $\text {V}$

$y_2(t = t_4) \ =\ $  $\text {V}$

Sample solution

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Für das Ausgangssignal gilt  $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal  $x_1(t) = 0$  ist. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt.
• Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.
• Das Eingangssignal  $x_1(t)$  kann für sehr große Zeiten  $(t \gg 0)$  als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre  $H(f)$  ein Hochpass, dann müsste  $y_1(t)$  für  $t → ∞$  gegen Null gehen. Das heißt:   $H(f)$  stellt einen Tiefpass dar.

(2)  Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus  $x_1(t)$  und  $y_1(t)$  abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:

$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}= \frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$

(3)  Die Sprungantwort  $σ(t)$  ist gleich dem Ausgangssignal  $y(t)$, wenn am Eingang  $x(t) = γ(t)$  anliegen würde.

• Wegen  $x_1(t) = 4 \hspace{0.05cm} \rm {V} · γ(t)$  gilt somit im Bereich von  $0$  bis  $T = 2 \ \rm ms$:

$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\big( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\big).$$

• Zum Zeitpunkt  $t = T = 2 \ \rm ms$  erreicht die Sprungantwort ihren Endwert  $0.25$.
• Für  $t = T/2 = 1 \ \rm ms$  ergibt sich der Zahlenwert  $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$.
• Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort  $σ(t)$  ebenso wie die Sprungfunktion  $γ(t)$  keine Einheit besitzt.

rechts

(4)  Die Sprungantwort  $σ(t)$  ist das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$.

• Damit ergibt sich  $h(t)$  aus  $σ(t)$  durch Differentiation nach der Zeit.
• Im Bereich  $0 < t < T$  gilt deshalb:

$$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$

$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$

$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

• Für  $t < 0$  und  $t ≥ T$  gilt stets  $h(t)=0$.
• Der Wert  $h(t = 0)$  bei exakt  $t = 0$  muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:

$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$

rechts

(5)  Der Rechteckimpuls  $x_2(t)$  kann auch als die Differenz zweier um  $±T/2$  verschobener Sprünge dargestellt werden:

$$x_2(t) = A \cdot \big[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big].$$

• Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um  $±T/2$  verschobener Sprungantworten:

$$y_2(t) = A \cdot \big[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\big].$$

• Für  $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$  gilt  $y_2(t) \;\underline{ = 0}$.

• Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:

$$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] = {\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$

$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \big[\sigma( T) - \sigma(0)\big] = {\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$

$$y_2(t = T) = A \cdot \big[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\big] = {\rm 2\, V}\cdot \big[0.25 - 0.1875\big] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$