Aufgaben:Exercise 2.3: Sinusoidal Characteristic

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Sinusoidal characteristic curve

We consider a system with input  $x(t)$  and output  $y(t)$. For simplicity of description, the signals are considered to be dimensionless.

The relationship between the input signal  $x(t)$  and the output signal  $y(t)$  is given in the range between  $-\pi/2$  and  $+\pi/2$  by the following characteristic curve.

$$g(x) = \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -

\hspace{0.05cm}\text{...}$$

The second part of this equation describes the series expansion of the sine function.

As approximations for the nonlinear characteristic curve the following is used in this task:

$$g_1(x) = x\hspace{0.05cm},$$

$$ g_3(x) = x- x^{3}\hspace{-0.1cm}/6\hspace{0.05cm},$$

$$g_5(x) = x- x^3\hspace{-0.1cm}/{6}+x^5\hspace{-0.1cm}/{120}\hspace{0.05cm}.$$

The input signal  $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$  is always assumed wherat the values  $A = 0.5$,  $A = 1.0$  and  $A = 1.5$  are to be considered for the (dimensionless) signal amplitude.

Please note:

• The task belongs to the chapter  Nonlinear Distortion.
• The resulting signal curves for  $x(t)$  and  $y(t)$  are shown graphically on the page  Beschreibung nichtlinearer Systeme .

• All powers required here refer to the resistance  $R = 1 \ \rm \Omega$  and thus have the unit  ${\rm V}^2$.
• The following trigonometric relations are assumed to be known:

$$\cos^3(\alpha) = {3}/{4} \cdot \cos(\alpha) + {1}/{4} \cdot \cos(3\alpha)

\hspace{0.05cm}, $$

$$ \cos^5(\alpha) = {10}/{16} \cdot \cos(\alpha) + {5}/{16} \cdot \cos(3\alpha)

+ {1}/{16} \cdot \cos(5\alpha)\hspace{0.05cm}.$$

Questions

1 Welchen Klirrfaktor  $K$  erhält man mit der Kennliniennäherung  $\underline{g_1(x)}$  unabhängig von der Amplitude  $A$  des Eingangssignals?

$K \ = \ $ $\ \%$

2 Berechnen Sie den Klirrfaktor  $K$  für das Eingangssignal  $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$  und die Näherung  $\underline{g_3(x)}$.
Welche Werte ergeben sich für  $A = 0.5$  und  $A = 1.0$?

$A = 0.5\hspace{-0.08cm}:\ \ K \ = \ $ $\ \%$

$A = 1.0\hspace{-0.08cm}:\ \ K \ = \ $ $\ \%$

3 Wie lautet der Klirrfaktor für  $\underline{A = 1.0}$  unter Berücksichtigung der Näherung  $\underline{g_5(x)}$?

$K \ = \ $ $\ \%$

4 Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Hierbei bezeichnet  $K$  den Klirrfaktor der Sinusfunktion  $g(x)$.
$K_{\rm g3}$  und  $K_{\rm g5}$  basieren auf den Näherungen  $g_3(x)$  bzw.  $g_5(x)$.

	$K_{\rm g5}$  stellt im Allgemeinen eine bessere Näherung für  $K$  dar als  $K_{\rm g3}$.
	Für  $A = 1.0$  gilt  $K_{\rm g3} < K_{\rm g5}$.
	Für  $A = 0.5$  wird  $K_{\rm g3} \approx K_{\rm g5}$ gelten.

Solution

Solution

(1)  Die sehr ungenaue Näherung  $g_1(x) = x$  ist linear in  $x$  und führt deshalb auch nicht zu nichtlinearen Verzerrungen. Damit ergibt sich für den Klirrfaktor $\underline{K = 0}$.

(2)  Das analytische Spektrum (nur positive Frequenzen) des Eingangssignals lautet:

$$X_+(f) = A \cdot {\rm \delta}(f- f_0) .$$

• Am Ausgang der nichtlinearen Kennlinie  $g_3(x)$  liegt dann folgendes Signal an:

$$y(t) = A \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) - \frac{A^3}{6} \cdot

{\rm cos}^3(\omega_0 t )=

A \cdot {\rm cos}(\omega_0  t ) - \frac{3}{4} \cdot \frac{A^3}{6} \cdot

{\rm cos}(\omega_0 t )- \frac{1}{4} \cdot \frac{A^3}{6} \cdot {\rm cos}(3\omega_0 t ) = A_1 \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) + A_3 \cdot {\rm cos}(3\omega_0 t ).$$

• Für die Koeffizienten  $A_1$  und $A_3$ erhält man durch Koeffizientenvergleich:

$$A_1 = A - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{8}, \hspace{0.5cm}A_3 = - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{24}.$$

• Mit $A = 0.5$ ergibt sich $A_1 \approx 0.484$ und  $A_3 \approx 0.005$. Somit lautet der Klirrfaktor:

$$K = K_3 ={|A_3|}/{A_1}= {0.005}/{0.484} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1.08\%}.$$

Anzumerken ist, dass bei der Näherung  $g_3(x)$  nur der kubische Anteil  $K_3$  des Klirrfaktors wirksam ist.

• Für  $A = 1.0$  und  $A = 1.5$  ergeben sich folgende Zahlenwerte:

$$A = 1.0: A_1 \approx 0.875, \hspace{0.2cm} A_3 \approx

-0.041\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{K \approx 4.76\%}\; \; \Rightarrow \; \; K_{g3},$$

$$A = 1.5: A_1 \approx 1.078, \hspace{0.2cm} A_3 \approx

-0.140\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}{K \approx 13 \%}.$$

(3)  In ähnlicher Weise wie beim Unterpunkt  (2)  gilt nun

$$y(t) = A_1 \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) + A_3 \cdot {\rm

cos}(3\omega_0 t )+ A_5 \cdot {\rm cos}(5\omega_0 t )$$

mit folgenden Koeffizienten:

$$A_1 = A - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{8} + {A^5}\hspace{-0.1cm}/{192},\hspace{0.3cm}

A_3 = - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{24} + {A^5}\hspace{-0.1cm}/{384},\hspace{0.3cm} A_5 = {A^5}\hspace{-0.1cm}/{1920}.$$

• Daraus ergeben sich mit  $A=1$  die Zahlenwerte:

$$A_1 \approx 1 -0.125 +0.005 = 0.880,\hspace{0.3cm}

A_3 \approx -0.042 +0.003 = -0.039,\hspace{0.3cm} A_5 \approx 0.0005$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}K_3 = {|A_3|}/{A_1}= 0.0443,\hspace{0.3cm}K_5 =

\; \; \Rightarrow \; \; K_{g5}.$$ (4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Der Ansatz  $g_5(x)$  ist im gesamten Bereich eine bessere Näherung für die Sinusfunktion  $g(x)$  als die Näherung  $g_3(x)$.
• Deshalb ist der in der Teilaufgabe  (3)  berechnete Wert  $K_{g5}$  eine bessere Näherung für den tatsächlichen Klirrfaktor als  $K_{g3}$.
  die erste Aussage ist somit richtig.
• Die zweite Aussage ist falsch, wie schon die Berechnung für  $A=1$  gezeigt hat:   $K_{g3} \approx 4.76 \%$  ist größer als  $K_{g5} \approx 4.45 \%$.
• Der Grund hierfür ist, dass $g_3(x)$ unterhalb von $g_5(x)$ liegt und damit auch eine größere Abweichung vom linearen Verlauf vorliegt.
• Für  $A=0.5$  wird  $K_{g5} \approx K_{g3} = 1.08 \%$  gelten.
• Die Kennlinie auf der Angabenseite zeigt, dass für  $|x| \le 0.5$  die Funktionen  $g_3(x)$  und  $g_5(x)$  innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
• Damit ergeben sich auch gleiche Klirrfaktoren.