Exercise 2.4Z: Characteristics Measurement

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Given characteristic curve  $y = g(x)$

It is known that the characteristic curve can be represented as follows for a nonlinear system:

$$y(t) = c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^2(t).$$

Since the distortions are nonlinear no frequency response  $H(f)$  can be given.

To determine the dimensionless coefficient  $c_1$  as well as the quadratic coefficient  $c_2$  different rectangular pulses  $x(t)$  – characterized by the amplitude  $A_x$  and width  $T_x$  – are now applied to the input and the pulse amplitude  $A_y$  at the output is measured in each case.

The first three trials generate the following values:

• $A_x = 1 \ {\rm V}, \; \; T_x = 8 \ {\rm ms}$ :     $A_y = 0.55 \ {\rm V}$,
• $A_x = 2 \ {\rm V}, \; \; T_x = 4 \ {\rm ms}$ :     $A_y = 1.20 \ {\rm V}$,
• $A_x = 3 \ {\rm V}, \; \; T_x = 2 \ {\rm ms}$ :     $A_y = 1.95 \ {\rm V}$.

For the subtasks  (3)  and  (4)  let the input signal  $x(t)$  be a harmonic oscillation because only for such an oscillation a distortion factor can be specified.

In contrast, a triangular pulse with amplitude  $A_x = 3 \ {\rm V}$  and the one-sided pulse duration  $T_x = 2 \ {\rm ms}$  is considered for the subtask  (5) :

$$x(t) = A_x \cdot ( 1 - {|t|}/{T_x}) $$

Please note:

• The task belongs to the chapter  Nonlinear Distortion.

• The following abbreviations are used in the formulation of the questions:

$$y_1(t) = c_1 \cdot x(t), \hspace{0.5cm} y_2(t) = c_2 \cdot x^2(t).$$

Questions

1

Am Eingang liegt ein Rechteckimpuls  $x(t)$  mit Amplitude  $A_x$  und Dauer  $T_x$  an. 
Welche Aussagen gelten für den Ausgangsimpuls  $y(t)$?

	Der Ausgangsimpuls  $y(t)$  ist dreieckförmig.
	Die Amplituden am Eingang und Ausgang sind gleich   ⇒   $A_y = A_x$.
	Die Impulsdauer wird durch das System nicht verändert   ⇒   $T_y = T_x$.

2

Berechnen Sie die beiden ersten Koeffizienten der Taylorreihe.

$c_1 \ = \ $

$c_2 \ = \ $ $\ \rm 1/V$

3

Welcher Klirrfaktor  $K$  wird mit dem Testsignal  $x(t) = 1 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$  gemessen? Das heißt:   $\underline{A_x = 1\hspace{0.08cm} \rm V}$.

$K \ = \ $ $\ \%$

4

Welcher Klirrfaktor  $K$  wird mit dem Testsignal  $x(t) = 3 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$  gemessen? Das heißt:   $\underline{A_x = 3\hspace{0.08cm} \rm V}$.

$K \ = \ $ $\ \%$

5

Welcher Ausgangsimpuls  $y(t)$  ergibt sich bei dreieckförmigem Eingangsimpuls? Wie lauten die Signalwerte bei  $ t = 0$  und  $ t = T_x/2$?

$y(t = 0) \ = \ $ $\ \rm V$

$y(t = T_x/2) \ = \ $ $\ \rm V$

Solution

Solution

(1)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 3:

• Ist der Eingangsimpuls  $x(t)$  rechteckförmig, so ist auch  $x^2(t)$  ein Rechteck mit Höhe  $A_x^2$  zwischen  $0$  und  $T_x$; außerhalb Null.
• Auch das gesamte Ausgangssignal  $y(t)$  ist somit rechteckförmig mit der Amplitude

$$A_y= c_1 \cdot A_x + c_2 \cdot A_x^2 .$$

• Für die Impulsdauer gilt:   $T_y = T_x$.

(2)  Mit den beiden ersten Parametersätzen kann folgendes lineares Gleichungssystem angegeben werden:

$$c_1 \cdot 1\,{\rm V} + c_2 \cdot (1\,{\rm V})^2 = 0.55\,{\rm V},$$

$$c_1 \cdot 2\,{\rm V} + c_2 \cdot (2\,{\rm V})^2 = 1.20\,{\rm V}.\hspace{0.05cm}$$

• Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit  $-2$  und Addition der beiden Gleichungen erhält man:

$$c_2 \cdot 2\,{\rm V}^2 = 0.1\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.05\cdot{1/\rm V}}.$$

• Der Linearkoeffizient ist somit  $c_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}.$

• Der dritte Parametersatz kann genutzt werden, um das Ergebnis zu kontrollieren:

$$c_1 \cdot 3\,{\rm V} + c_2 \cdot (3\,{\rm V})^2 = 0.5 \cdot 3\,{\rm V}+ 0.05 \ {1}/{\rm V}\cdot 9\,{\rm V}^2 = 1.95\,{\rm V}.$$

(3)  Die Angabe eines Klirrfaktors bedingt die Verwendung einer harmonischen Schwingung am Eingang.

• Ist  $X_+(f) = 1 \ {\rm V} \cdot \delta (f - f_0)$, so lautet das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang:

$$ Y_{+}(f)={c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f) + c_1\cdot A_x \cdot \delta(f- f_0)+ {c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f- 2 f_0). $$

• Die Diracfunktion bei  $f = 0$  folgt aus der trigonometrischen Umformung  $\cos^2(\alpha) = 1/2 + 1/2 \cdot \cos(\alpha).$

• Mit  $A_1 = c_1 \cdot A_x = 0.5 \ {\rm V} $  und  $A_2 = (c_2/2) \cdot A_x^2 = 0.025 \ {\rm V}^2 $  ergibt sich somit für den Klirrfaktor:

$$K= \frac{A_2}{A_1}= \frac{c_2/2 \cdot A_x}{c_1 }= \frac{0.025}{0.5} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \%}.$$

(4)  Entsprechend der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe ist  $K$  proportional zu  $A_x$. Deshalb erhält man nun  $K \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \%}.$

(5)  Nun lautet das Ausgangssignal:

$$y(t)= c_1\cdot A_x \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right) +\hspace{0.1cm} {c_2}\cdot A_x^2 \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right)^2.$$

• Zum Zeitpunkt  $t = 0$  bzw.  $t = T_x/2$  treten folgende Werte auf:

$$y(t=0) = c_1\cdot A_x + {c_2}\cdot A_x^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.95\,{\rm V}},$$

$$y(t=T_x/2) = c_1\cdot A_x \cdot {1}/{2} + \hspace{0.1cm}{c_2}\cdot A_x^2 \cdot {1}/{4}= 0.75\,{\rm V}+ 0.1125\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8625\,{\rm V}}.$$