Aufgaben:Exercise 3.1: Spectrum of the Exponential Pulse

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In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal $x(t)$ betrachtet, das zum Zeitpunkt $t = 0$ sprungartig von 0 auf $A$ ansteigt und für Zeiten $t > 0$ exponentiell mit der Zeitkonstanten $T$ abfällt:

$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - t/T} .$$

An der Sprungstelle zum Zeitpunkt $t = 0$ gilt $x(t = 0) = A/2$.

Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen die Parameter

$$A = 3 \hspace{0.1cm} {\rm V}, \hspace{0.2cm} T = 1 \hspace{0.1cm} {\rm ms} .$$

Die zu berechnende Spektralfunktion $X(f)$ wird komplex sein und kann daher nach Real– und Imaginärteil, aber auch nach Betrag und Phase dargestellt werden. Verwenden Sie die Notation:

$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi( f )} .$$

Fragebogen

{Berechnen Sie die Spektralfunktion $X(f)$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$? |type="{}"} $\text{Re}[X(f=0)] = $ {3 3%} mV/Hz $\text{Im}[X(f=0)] = $ { 00 } mV/Hz

{Wie lauten der Real– und der Imaginärteil von $X(f)$ unter Verwendung von $f_0 = 1/(2\pi T)$. Welche Werte weisen diese Funktionen bei $f = f_0$ auf? |type="{}"} $\text{Re}[X(f=f_0)] = $ {1.5 3%} mV/Hz $\text{Im}[X(f=f_0)] = $ { -1.5 3% } mV/Hz

{Berechnen Sie die Betragsfunktion $|X(f)|$. Welche Werte ergeben sich bei der Frequenz $f = f_0$ und bei sehr großen Frequenzen? |type="{}"} $|X(f=f_0)| = $ {2.12 3%} mV/Hz $|X(f\rightarrow \infty)| = $ { 00 } mV/Hz

{Berechnen Sie die Phasenfunktion $\phi(f)$. Welche Werte ergeben sich hierfür bei der Frequenz $f = f_0$ und bei sehr großen Frequenzen? |type="{}"} $\phi(f=f_0) = $ {0.785 3%} rad $\phi(f \rightarrow \infty) $ { 00 } rad

</quiz>

Musterlösung

Solution

1. Mit dem ersten Fourierintegral erhält man:

$$X( f ) = \int_0^\infty {A \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}}2\pi f} \right)} } {\rm d}t = \left. {\frac[[:Template:- A]]{{1/T + {\rm j}2\pi f}} \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j}2\pi f} \right)} } \right|_0^\infty .$$

Die obere Integralgrenze $(t \rightarrow \infty)$ ergibt 0, die untere Grenze $(t = 0)$ den Wert 1. Somit gilt:

$$X(f) = \frac[[:Template:A \cdot T]]{{1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm} X( {f = 0}) = A \cdot T\hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}}.$$

Bei der Frequenz $f = 0$ ist demnach das Spektrum rein reell.

2. Mit den Abkürzungen $X_0 = A \cdot T$ und $f_0 = 1/(2\pi T)$ lautet die Spektralfunktion:

$$X( f) = \frac[[:Template:X 0]]{{1 +{\rm j} \cdot f/f_0 }} = \frac[[:Template:X 0]]{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm j} \cdot f/f_0 } \right).$$

Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil ergibt dies:

$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)}] = \frac[[:Template:X 0]]{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}, \hspace{0.5 cm}{\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X(f)}] = - \frac[[:Template:X 0 \cdot f/f 0]]{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}.$$

Bei der Frequenz $f_0$ ist der Realteil gleich $X_0/2 = 1.5 mV/Hz, und der Imaginärteil gleich $–X_0/2 = –1.5 mV/Hz.

3. Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner. Damit erhält man:

$$\left| {X( f)} \right| =\frac[[:Template:X 0]][[:Template:\left]] = \frac[[:Template:X 0]]{{\sqrt {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 } }},$$

$$\left| {X( {f = f_0} )} \right| = [[:Template:X 0]]/[[:Template:\sqrt 2]]\hspace{0.15 cm}\underline{ = 2.12 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm V/Hz}}.$$

Bei sehr großen Frequenzen $(f \rightarrow \infty)$ ist der Betrag nahezu 0 (siehe Skizze).

4. Für die Phasenfunktion gilt allgemein:

$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{{ - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$

Für $f = f_0$ ergibt sich $\arctan(1)= \pi /4 \approx 0.785$, für sehr große Werte von $f$ nähert sich die Phasenfunktion dem Wert $\arctan(\infty) = \pi /2 \approx 1.571$ an. Beide Angaben sind im Bogenmaß („Radian”) zu verstehen.