Aufgaben:Exercise 3.2: From the Spectrum to the Signal

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Spektraldarstellung der Sprungfunktion (Aufgabe A3.2)

Gegeben sei die Spektralfunktion

$$X(f) = \frac{{2\,{\rm V}}}{{{\rm j}\pi f}}.$$

Die zugehörige Zeitfunktion $x(t)$ kann mit Hilfe des zweiten Fourierintegrals ermittelt werden:

$$x(t) & = & \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X(f)} \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft} {\rm d} f =\\ & = & x_{\rm R} (t) + {\rm j} \cdot x_{\rm I} (t),$$

wobei für den Realteil bzw. Imaginärteil gilt:

$$x_{\rm R} (t) = 2\,{\rm V} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\sin ( {2\pi ft} )}}Template:\pi f}\hspace{0.1cm} {\rm d}f, \hspace{0.5cm}x_{\rm I} (t) = -2\,{\rm V} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\cos ( {2\pi ft} )}}Template:\pi f} \hspace{0.1cm}{\rm d}f.$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.1. Benutzen Sie zur Lösung eventuell die nachfolgenden Angaben:

$$x( {t = 0}) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f )}\hspace{0.1cm} {\rm d}f,\hspace{0.5cm} X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t)}\hspace{0.1cm} {\rm d}t ,$$

$$\int_0^\infty {\frac{{\sin ( {ax} )}}{x}}\hspace{0.1cm} {\rm d}x = {\rm sign} ( a ) \cdot \frac{\pi }{2}.$$

Fragebogen

1 Welche der folgenden Aussagen treffen für das Zeitsignal $x(t)$ zu?

	$x(t)$ ist eine komplexe Funktion.
	$x(t)$ ist rein reell.
	$x(t)$ ist rein imaginär.

2 Berechnen Sie den Signalverlauf $x(t)$ im gesamten Definitionsgebiet. Welche Signalwerte treten zu den Zeitpunkten $t = 1$ ms und $t = –1$ ms auf?

$x(t=1 \text{ms}) = $ V

$x(t=-1 \text{ms}) = $ V

3 Wie lautet der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$?

$x(t=0) = $ V

4 Wie groß ist der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$?

$x(f=0) = $ V/Hz

Musterlösung

Solution

1. Beim Signalanteil $x_I(t)$ ist der Integrand eine ungerade Funktion (gerader Zähler, ungerader Nenner). Somit ist das Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ gleich Null. Demgegenüber liefert beim reellen Anteil $x_R(t)$ der gerade Integrand (ungerader Zähler, ungerader Nenner) einen von Null verschiedenen Wert. Daraus folgt: $x(t)$ ist rein reell.

2. Mit $a = 2\pi t$ kann für das Zeitsignal geschrieben werden:

$$x(t) = x_{\rm R} \left( t \right) = \frac{{4\,{\rm V}}}{\pi }\int_0^\infty {\frac{{\sin( {af} )}}{f}}\hspace{0.1cm} {\rm d}f.$$

Dies führt unter Verwendung des angegebenen bestimmten Integrals zum Ergebnis:

$$x(t) = \frac{{4\,{\rm V}}}{\pi } \cdot \frac{\pi }{2} \cdot {\mathop{\rm sign}\nolimits} ( t ) = 2\;{\rm V} \cdot {\mathop{\rm sign}\nolimits} ( t ).$$

Für $t > 0$ ist $x(t) = +2$ V. Entsprechend gilt $x(t) = –2$ V für $t < 0$. Das Signal $x(t)$ beschreibt also eine Sprungfunktion von –2 V auf +2 V.

3. Bei $t = 0$ besitzt $x(t)$ eine Sprungstelle. Der rechtsseitige Grenzwert für $t \rightarrow 0$ lautet $x_+ = 2$ V. Nähert man sich von negativen Zeiten der Sprungstelle beliebig nahe, so erhält man $x_– = –2$ V. Für den tatsächlichen Signalwert bei $t = 0$ gilt dann:

$$x( {t = 0} ) = \frac{1}{2}\cdot ( x_{+} + x_{-} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$

Zum gleichen Ergebnis kommt man bei Berücksichtigung der Beziehung

$$x( t = 0) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = 0.$$

4. Der Spektralwert bei $f = 0$ ist gleich dem Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ über die Zeitfunktion $x(t)$:

$$X( f = 0) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t)}\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$

Hier noch ein zweiter Lösungsweg: Der rechtsseitige Grenzwert für $f$ → 0 ist $X_+ = –\text{j} \cdot \infty$, der linksseitige Grenzwert $X_- = \text{j} \cdot \infty$. Auch bezüglich des Spektralwertes bei $f = 0$ gilt also der Zusammenhang:

$$X( {f = 0}) = {1}/{2}\cdot \left( {X_{ +} + X_{-} } \right) = 0.$$