Aufgaben:Exercise 3.4: Trapezoidal Spectrum and Pulse

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Trapezspektrum und -impuls (Aufgabe A3.4)

Wir betrachten hier eine trapezförmige Spektralfunktion $X(f)$ gemäß der oberen Grafik, die durch die drei Parameter $X_0$, $f_1$ und $f_2$ vollständig beschrieben wird. Für die Eckfrequenzen gelte $f_2 > 0$ und $0 \geq f_1 \geq f_2$. Anstelle der Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ können auch die beiden folgenden Beschreibungsgrößen verwendet werden:

• die äquivalente Bandbreite:

$$\Delta f = f_1 + f_2,$$

• der so genannte Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich):

$$r_f = \fracTemplate:F 2 - f 1Template:F 2 + f 1.$$

Mit diesen Größen lautet die dazugehörige Zeitfunktion (siehe Grafik in der Mitte):

$$x( t ) = X_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm \pi} \cdot \Delta f \cdot t} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm \pi} \cdot r_f \cdot \Delta f\cdot t} ).$$

Hierbei ist $\text{si}(x) = \text{sin}(x)/x$ die so genannte Spaltfunktion. In diesem Beispiel sollen die Zahlenwerte $X_0 = 10^{–3}$ V/Hz, $f_1 = 1$ kHz und $f_2 = 3$ kHz verwendet werden. Die Zeit $T = 1/\Delta f$ dient lediglich zu Normierungszwecken.

Ab Aufgabe 3) wird ein trapezförmiges Signal $y(t)$ betrachtet, das formgleich mit dem Spektrum $X(f)$ ist. Als Beschreibungsgrößen können hier verwendet werden: die Impulsamplitude $y_0 = y(t = 0)$, die äquivalente Impulsdauer (definiert über das flächengleiche Rechteck):

$$\Delta t = t_1 + t_2,$$

der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich):

$$r_t = \fracTemplate:T 2 - t 1Template:T 2 + t 1.$$

Es gelte $y_0 = 4$ V, $\Delta t = 1$ ms und $r_t = 0.5$.

Hinweis: Diese Aufgabe soll unter Verwendung von Vertauschungssatz und Ähnlichkeitssatz gelöst werden. Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:

• Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion
• Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort

Fragebogen

1 Wie groß sind bei den gegebenen Parametern die äquivalente Bandbreite und der Rolloff-Faktor des Spektrums $X(f)$?

$\Delta f =$ kHz

$r_f =

2 Wie groß sind die Signalwerte von $x(t)$ bei $t = 0$, $t = T/2$ und $t = T$?

$x(t=0) =$ V

$x(t=T/2) =$ V

$x(t=T) =$ V

3 Wie lautet das Spektrum $Y(f)$ des Trapezimpulses mit $y_0 = 4$ V, $\Delta t = 1$ ms, $r_t = 0.5$. Wie groß sind die Spektralwerte bei $f$ = 0, 500 Hz und 1 kHz?

$Y(f = 0) =$ mV/kHz

$Y(f = 0.5 \text{kHz}) =$ mV/Hz

$Y(f = 1 \text{kHz}) =$ mV/Hz

4 Welche Spektralwerte ergeben sich mit $y_0 = 8$ V, $\Delta t = 0.5$ ms und $r_t = 0.5$?

$Y(f=0) =$ mV/Hz

$Y(f=1\text{kHz}) =$ mV/Hz

Musterlösung

Solution

1. Die äquivalente Bandbreite ist per Definition gleich der Breite des flächengleichen Rechtecks:

Für den Rolloff-Faktor gilt:

2. Der Maximalwert des Impulses $x(t)$ tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf: $x_0 = X_0 \cdot \Delta f = 4$ V. Zum Zeitpunkt $t = T = 1/\Delta f$ gilt aufgrund von $\text{si}(\pi) = 0$:

Auch bei allen Vielfachen von $T$ weist $x(t)$ Nulldurchgänge auf. Zum Zeitpunkt $t = T/2$ gilt:

3. Die zum trapezförmigen Spektrum $X(f)$ zugehörige Zeitfunktion lautet (siehe Angabe):

Da sowohl $X(f)$ als auch $x(t)$ reell sind und $y(t)$ formgleich mit $X(f)$ ist, erhält man unter Berücksichtigung aller Äquivalenzen für die Spektralfunktion des Trapezimpulses:

Insbesondere gilt:

4. Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ wird nicht verändert: $Y_0 = y_0 \cdot \Delta t = 4 \cdot 10^{–3}$ V/Hz. Da nun die Zeitfunktion nur halb so breit ist, verbreitert sich das Spektrum um den Faktor 2:

In der Teilaufgabe 3) ist dieser Spektralwert bei der Frequenz $f = 0.5$ kHz aufgetreten.